Багатогранники. Точка та пряма на поверхні

Класифікація поверхонь

Способи завдання поверхні

ПОВЕРХНОСТІ

Лекція №7

Поверхня- абстрактна фігура, що не має товщини. Вона обмежує якесь тіло, що складається з металу, пластмаси і т.д. Тіло – звісно, ​​а поверхня може бути нескінченна. Наприклад, куля обмежена сферою; бічною поверхнею конуса є конічна поверхня.

Існує кілька способів завдання поверхні, у тому числі: кінематичний, аналітичний та графічний.

Впровадження в інженерну практику комп'ютерних технологій зумовило спільне використання графічних та аналітичних методів завдання поверхонь.

З погляду аналітичної геометрії:

Поверхня– безперервна множина точок, координати яких пов'язані в декартовій системі координат рівнянням виду F(x, y, z)=0.

У нарисній геометрії поверхня задається графічно, а до її утворення підходять з погляду кінематики:

Поверхня -сукупність безперервних послідовних положень ліній, що рухаються у просторі за певним законом.

Ця лінія, що рухається, називаєтьсяутворюючою, а лінія, по якій вона рухається -напрямною.

Поверхня вважається заданою, якщо з однієї проекції точки, що їй належить, можна побудувати другу проекцію. Сукупність незалежних умов, необхідних та достатніх для однозначного визначення поверхні, називаєтьсявизначником поверхні :

деF - поверхня,

(Г)– геометрична частина визначника поверхні – сукупність геометричних фігур, що утворюють поверхню;

[A]– алгоритмічна частина визначника поверхні – закон переміщенняутворює.

Наприклад, визначник конічної поверхні має такий вигляд:

,

деl- утворює;

S– точка перетину утворюючих.

Алгоритмічна частина визначника читається так:

Будь-яка утворювальнаlперетинає напрямнуаі проходить через точкуS.

На кресленні поверхня може бути задана:

1. Набір елементів, що визначають цю поверхню.

2. Нарис поверхні.

3. Каркасом поверхні.

Нарисом поверхніназивається проекції контуру поверхні на площині проекцій.

Каркасний спосіб завдання поверхні передбачає, що поверхню можна визначити як двопараметричне безліч точок з одного боку, а, з іншого, поверхня – однопараметричне безліч ліній.

Каркасом(точковим або лінійним) називається безліч точок або ліній, що визначають поверхню.

Каркасним способом задаються такі складні поверхні з такими, що утворюють змінного вигляду, які не можна описати математично.

Існує безліч різних підходів до класифікації поверхонь. Однак головними з них є такі критерії:

1.Закон утворення поверхні:

-поверхні закономірні- якщо закон їх утворення відомий і може бути виражений математично;

2.Вигляд утворюючої:

-поверхні лінійні-утворююча пряма лінія;

-поверхні нелінійні (криволінійні)-утворююча крива лінія.

3.Закон руху утворює:

-поверхні переносу- з поступальним рухом утворюючої;

-поверхні обертання- з обертальним рухом твірної;

-гвинтовіповерхні- з гвинтовим рухом утворює.

4.Постійність (варіабільність) форми утворюючої:

-поверхні з утворює постійної форми;

-поверхні з твірною змінною форми.

5.Можливість розгортання поверхні:

-Розгортаються– поверхні, що поєднуються з площиною без складок і розривів:

Очевидно, що будь-яку поверхню можна класифікувати одночасно за декількома ознаками. Наприклад, циліндрична поверхня обертання:

1) лінійна закономірна поверхня обертання, що розгортається;

2) циклічна поверхня перенесення кола постійного радіусу;

3) поверхню алгебри другого порядку.

З усієї безлічі поверхонь у короткому курсі накреслювальної геометрії ми розглядатимемо лише грані поверхні та поверхні обертання.

Гранні поверхні мають пряму утворюючу і ламану лінію як напрямну.

Упірамідальної поверхні утворювальнаl, рухаючись по ламаній направляючійа, весь час проходить через одну точкуS, звану вершиною.

Утворювальнапризматичної поверхні, рухаючись у просторі по ламаній напрямній, весь час залишається паралельною самій собі.

Многогранник– просторова фігура, обмежена з усіх боків площинами (гранями).

Побудова проекцій точок, що належать бічній поверхні багатогранника, здійснюється за допомогою утворюючих і напрямної.

Візьмемо тригранну піраміду та точкиD,E, F, що лежать на її бічній поверхні. Необхідно визначити недостатні горизонтальні проекції цих точок:

1) ТочкиEіFлежать на ребрах піраміди,отже, їх горизонтальні проекції лежатимуть на горизонтальних проекціях відповідних ребер.

2) ТочкаDналежить грані піраміди, тому її недостатню проекцію слід визначати за допомогою твірної1-S. Крім того, з графічної умови не ясно, на якій грані знаходиться точкаD, її фронтальній проекції відповідають дві горизонтальні проекції.

З КЧ видно, що пряма або ламана лінія, що належить поверхні багатогранника, може бути побудована за характерними точками, якими є точки переходу її через ребра.

---