Чи можна почути форму барабана
Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії
«Чи можна почути форму барабана?»- питання Ліпмана Берса, що сходить до Германа Вейля.
Частоти, у яких барабанна мембрана може вібрувати, однозначно залежить від його форми. Постає питання: чи можна однозначно відновити форму барабана, якщо всі його частоти відомі?
Формулювання
Барабан мислиться як пласка область D, межа якої фіксована. Позначимо через λ n n-е власне значення для лапласіана з умовою Діріхле на кордоні. Тобто нас цікавлять значення , для яких існує функція u : D → R & gt; така, що
< Δ u + λ u = 0 , u ∂ D = 0. Delta u+lambda u=0,\u_=0.
Дві області називаються ізоспектральними, якщо вони мають однакові власні значення з огляду на кратність.
Тому питання можна переформулювати так:
- Чи існують дві ізоспектральні та неконгруентні області?
Аналогічні питання можна поставити про рівняння Лапласа на областях у старших розмірностях, також на ріманових різноманіттях та інших еліптичних диференціальних операторів, таких як оператор Коші — Рімана або оператор Дірака. Можна накладати інші граничні умови, зокрема умова Неймана.
Плоскі тори
Майже відразу Джон Мілнор побудував пару ізоспектральних неізометричних 16-мірних торів. Пізніше подібні приклади були побудовані в усіх розмірах, починаючи з чотирьох. При цьому в розмірності 2 і 3 таких прикладів не існує. Тривимірний випадок зажадав серйозних комп'ютерних обчислень.
Таким чином, форму плоского тора не можна почути повністю в розмірностях 4 і вище.
Області на площині
У 1992 році Гордон, Вебб і Уолперт побудували пару неконгруентних ізоспектральних невипуклих багатокутників (див. рисунок).
Доказ того, що обидва регіони мають однакові власні значення, використовує симетрії та цілком елементарно. Короткий доказ більш загального твердження наведено у книзі Конвею.
Таким чином, "форму барабана не можна почути повністю".
Приватні випадки
Разом з тим, багато характеристик цієї форми відновні.
- Згідно з формулою Вейля, площа може бути однозначно відновлена за спектром.
- Теж вірно й у периметрів, за умови, що область випукла її межа аналітична.
- Питання залишається відкритим для неопуклих областей з аналітичним кордоном.