Книга Лінійна алгебра та проективна геометрія
у 3. Передавлення млирниць омобртепіє 143
заходів в й 1, були якраз такого типу. Зауважимо, крім того, що інверсний автоморфнзм тіла Р зазвичай називається інеолюторним інверсним автоморфізмом, якщо його квадрат дорівнює 1 (як у реченні 1).
Теорема 1. Якщо про — автодуальне відображення лінійного різноманіття (Р, А) і г(А)>3, то о, тоді і тільки тоді буде лолярним відображенням, коли або є нуль-системою (так що Р — лоле і о лідставітельно кососіметрічною (білінійною формою), або можна можна уявити симетричною а-формою, де і - інволюторний інверсний автоморфізм тіла Р.
Доведення. У силу теореми $2, можна припустити, що не є нуль-системою; за пропозицією 1 Ц 1), представимо деякою а-формою 1(х, у). Так як про не є нуль-системою, то А існує такий елемент і, що 1(е, і) м О; Без обмеження спільності можна припустити, що 1(т, м) = 1 (див. метод нормалізації, пропозиція 3, $ '1). Якщо тепер є полярним відображенням, то з пропозиції 1 випливає, що і буде інволюторним інверсним автоморфізмом і 1 — симетричною формою. Назад, якщо 1 — симетрична форма, вона задовольняє умові (5) лень 1 і, отже, є полярним відображенням.
Теорема 2. Лінійне різноманіття (Р, А), ранг яке не менше 3, тоді і тільки тоді володіє лолярним відображенням, коли ранг г(А) кінцевий і тіло Р володіє інвомоторним інверсним автомсрфізмом.
Доведення. Необхідність ваших умов слід нз теореми існування $ 1 і попередньої теореми! (зауважимо, що і = 1 є інволюторним інверсним автоморфізмом ')). Назад, якщо ранг г(А) =л кінцевий і — ннволюторний інверсний автоморфізм тіла Р, то позначимо через Ь„. Ь„деякий базис Р-простору А, ачерез 1 - однозначно визначену а-форму над А, що задовольняє умовам
Так як (м ') = 1ьо для будь-яких, 1 з Е, то ! є симетричною а-формою. З пропозиції 2 Я 1) і теореми 1 випливає, що 1 представляє полярне відображення; таким чином теорема 2 повністю доведена.
Докладне вивчення інволюторних інверсних автоморфізмів тіл читач може знайти у книзі Алберта [2].
Якщо 1 є симетричною а-формою над лінійним різноманіттям (Р, А), яка задовольняє умову 1(А, А)
') -Якщо Р - поле. - Прим. перев.
Рр. >у. дуогоніг відібрана
можна знайти такі злементи і, е, що 1(і, е) =1. З симетричності о-форми 1 випливає, що 1(о, і) 1 н
й 4. Підіростравства, оздоблені і ізоізотроні
щодо наварного отображевня; яідеїс я дефект
Подпространстно Х лінійного різноманіття (Р, А) [ранг г(А) якого ве менше 2] називається неізотропним щодо даїного. полярного відображення про Р-простору А, якщо ХПХ' = О. Зі слідства 2 ($ 1) випливає, що вимога еквівалентна умові А=Х+Х', або А Х+Х'. Оскільки Х = (Х')', одночасно
з Х неізотропний і підпростір Х'; таким чином, кожен неізотропний підпростір визначає розкладання лінійного миогообразія в пряму суму яєнзотропних компонентів (у зв'язку зі зтнм див. нижче $ 6).
Лемма 1. Якщо про — полярне відображення лінійного могообрааія (Р, А) і М — неіготропне підпространстео. Р-пространстеа А, то відображення про', визначене на гіна3ном різноманітті (Р, М) раєєнстео,
.до кожного надпростору У Р-пространсаіа М, буден
о' ми називатимемо погярниж відображенням, що індукується а М полярним відображаємо про, причому в подібних випадках завжди матимемо на увазі, що надпростір Мнеізотропно, бо інакше може бути полярним відображенням.
Доведення. Очевидно, що є однозначним. відображенням підпросторів Р-простору М на підпростір. ства того ж простору і що з У С)г