МІФІ-2007 вступний іспит з фізики
5. Тонкостінна напівсфера має радіус R. До нижньої точки внутрішньої поверхні напівсфери припаяний дуже тонкий стрижень, перпендикулярний поверхні півсфери в точці кріплення. Маса стрижня в n разів перевищує масу півсфери. За якої довжини стрижня намальоване положення тіла буде положенням стійкої рівноваги? Відповідь обґрунтувати.
Очевидно, положення тіла, зображене на малюнку за умови завдання, є положенням рівноваги, оскільки в цьому положенні сила тяжкості та сила реакції опори компенсують одна одну. Для дослідження стійкості рівноваги необхідно відхилити тіло від положення рівноваги і дослідити сили, що виникли. Якщо при відхиленні тіла виникнуть сили, що повертають тіло в положення рівноваги, рівновага є стійкою, якщо виникнуть сили, що виводять тіло з положення рівноваги, рівновага є нестійкою, якщо сили, як і раніше, компенсуватимуть одна одну, рівновага є байдужою.
Тому для аналізу стійкості рівноваги відхилимо тіло від положення рівноваги та досліджуємо дію на нього сил. Оскільки пряма, вздовж якої діє сила реакції опори, проходить через центр напівсфери (бо нижня поверхня тіла сферична), то стійкість або нестійкість рівноваги тіла, що розглядається, визначається точкою докладання сили тяжкості всього тіла: якщо сила тяжкості прикладена ліворуч від центру (при відхиленні тіла вправо), його рівновагу стійко, якщо правіше – нестійко, до центру – байдуже. Оскільки точкою докладання сили тяжкості є центр тяжіння тіла, то стійкість тіла визначається положенням центру тяжіння по відношенню до центру напівсфери.
Для ілюстрації цього твердження на малюнку показані сили,діють на тіло при його відхиленні від положення рівноваги у разі різного становища центру тяжкості. На лівому малюнку показаний випадок, коли центр тяжкості тіла лежить нижче від центру напівсфери (центр ваги відзначений жирною точкою). В цьому випадку сила тяжіння створює момент щодо точки дотику, що повертає тіло в положення рівноваги. У випадку, коли центр тяжіння тіла лежить вище за центр тіла, момент сили тяжіння виводить тіло з положення рівноваги (правий малюнок).
Для знаходження центру ваги тіла зручно використовувати наступний прийом. Якщо тіло можна подумки розділити такі частини, становище центрів тяжкості яких відомо, то центр тяжкості всього тіла можна як центр тяжкості системи матеріальних точок, маси яких дорівнюють масам цих частин, самі ці точки перебувають у центрах тяжкості цих частин. У застосуванні до тілу це означає, що його центр тяжкості збігається з центром тяжіння двох матеріальних точок з масами, рівними масам півсфери і стрижня, причому точки розташовані відповідно в центрах тяжіння півсфери і стрижня. Тому, якщо центр ваги напівсфери лежить на відстані l нижче її центру, то координата центру тяжіння тіла в системі координат, початок якої розташовано в центрі напівсфери, а вісь x спрямована вертикально вниз (ця система координат показана на малюнку) визначається співвідношенням
(1)
де m – маса півсфери, nm – маса стрижня.
Знайдемо тепер становище центру ваги півсфери. Для цього розглянемо тонкий "поясок" півсфери заввишки h, який видно з її центру під кутом до вертикалі. Оскільки поясок дуже тонкий, то, якщо вирізати його з півсфери, розрізати і розпрямити, вийде майже прямокутник з основою, що дорівнює довжині пояска (а ця довжина є 2R sin), івисотою, що дорівнює ширині ділянки поверхні напівсфери, що потрапила в поясок (а ця ширина є h/sin, див. рисунок). Таким чином, площа поверхні паска S є
(2)
Оскільки кут не увійшов у формулу (2), з неї випливає, що площа поверхні пояска (а отже, і його маса) не залежить від того, де розташований цей поясок – ближче до «вершини» півсфери або її центру. Це означає, що маса у бік від центру півсфери до її верхівці розподілена рівномірно, отже, центр тяжкості півсфери перебуває в відстані R/2 від її центра. Тепер, підставляючи формулу (1) l = R/2, знаходимо координату центру тяжкості тіла
(3)
Повертаючись тепер до міркувань про стійкість положення рівноваги, з яких почалося рішення, укладаємо, що положення рівноваги тіла, що розглядається, буде стійким, якщо x & gt; 0, або