Основні поняття та визначення Елементи фазового портрета - Метод фазової площини
Метод фазової площини вперше було застосовано на дослідження нелінійних систем французьким ученим Анрі Пуанкаре. Основна перевага цього - точність і наочність аналізу рухів нелінійної системи. Метод є якісним, тобто. він дозволяє отримувати якісні висновки про властивості нелінійної системи. Основний недолік цього методу полягає в тому, що він має велику ефективність лише при дослідженні систем другого порядку. Іноді вдається провести дослідження систем третього порядку. При вищому порядку системи спосіб втрачає наочність і застосовується рідко.
Рівняння досліджуваної системи зазвичай беруться як
Метод фазової площини полягає у дослідженні характеру вільних рухів нелінійних динамічних систем типу (1) шляхом побудови їх фазових траєкторій на фазовій площині.
Як відомо, вільні рухи динамічних систем викликаються ненульовими початковими умовами. Позначимо – вектор початкових умов. Це означає, що
Фазовий простір (простір станів), у випадку, - це лінійне n-мірне простір, координатами якого є компоненти вектора станів, т. е. змінні стану досліджуваної системи. При просторі вироджується в площину, яка називається фазовою площиною. Вона показана на рис. 1.
Якщо взяти моменти часу: …, причому
, то кожному моменту часу … будуть відповідати значення змінних станів: . Кожна пара цих значень визначає певну точку на фазовій площині. Ці точки, що відповідають, показані на рис. 1.
Поєднуючи точки, що відповідають різним моментам часу, отримаємо криву, кожна точка якої відповідає певному станусистеми у відповідний момент часу.
Отримана лінія називається траєкторією системи чи фазовою траєкторією.
Кожна фазова траєкторія цієї системи визначається деякими початковими умовами. Задаючи різні початкові умови, отримаємо різні фазові траєкторії однієї системи.
Сукупність фазових траєкторій та інших елементів фазової площини, що відбивають властивості нелінійної системи, називається фазовим портретом системи.
Фазовий портрет дозволяє без додаткових викладок зробити висновки про такі властивості системи, як:
- кількість положень рівноваги системи,
- характер рухів системи на околиці кожного положення рівноваги,
- стійкість положень рівноваги,
- Наявність або відсутність періодичних рухів системи,
- Наявність або відсутність областей з різним характером фазових траєкторій і т. д.
Елементи фазового портрета
Точка, що зображає - це точка фазової площини, що відповідає стану системи в деякий момент часу .
Слід зображуючої точки на фазовій площині при зміні від є фазова траєкторія.
Точка, що відповідає певним початковим умовам або моменту часу називається початковою. Кожна початкова точка визначає відповідну фазову траєкторію.
Фазова швидкість - це вектор, що визначає напрямок руху зображувальної точки в кожний момент часу. Фазова швидкість завжди спрямована щодо до фазової траєкторії в точці, що відповідає моменту часу . p align="justify"> Фазова швидкість є функцією змінних стану системи. Розмір (модуль) фазової швидкості . Вектор фазової швидкості показано на рис. 2.
Особлива точка - це точка фазової площини, у якійфазова швидкість дорівнює нулю. Це означає, що фазова траєкторія, потрапивши (наприклад, при ) в особливу точку, з неї не виходить. Кожна особлива точка на фазовій площині відповідає деякому положенню рівноваги динамічної системи, що досліджується. Якщо початкова точка збігається з особливою точкою, то вся відповідна початковій точці траєкторія розташовується в цій спеціальній точці.
Рівняння спеціальних точок. З визначення спеціальних точок випливає, що й рівняння виходять із рівнянь системи (1), якщо у них покласти тобто. рівняння особливих точок цієї системи мають вигляд
Ця нелінійна алгебраїчна система найчастіше може бути дозволена лише чисельними методами.
Нехай , де , Розв'язання системи рівнянь (2). Тоді точки на фазовій площині є особливими точками нелінійної системи, що описується рівняннями (1); - Число особливих точок цієї системи.
Приклад 1. Нехай рівняння нелінійної системи мають вигляд
Знайти спеціальні точки.
Рішення. Вважаючи тут отримаємо рівняння (2) особливих точок заданої нелінійної системи:
Одне з рішень цієї системи очевидно має вигляд
Далі з першого рівняння отримуємо. Підставляючи
у друге рівняння, знайдемо
Отже, особливі точки досліджуваної системи це точки:
Ці точки показано на рис. 3.
Типи фазових траєкторій. Існують замкнуті та розімкнені фазові траєкторії. Розімкнуті фазові траєкторії, починаючись у початковій точці, йдуть або в нескінченність, або до деякої особливої точки, або до замкнутої траєкторії, як показано на рис. 4.
Розімкнені траєкторії відповідають неперіодичним рухам. Замкнуті траєкторії відповідають періодичним (циклічним) рухам системи. Тому вони називаються циклами. Періодичнерух системи відбувається у разі, коли початкові умови виявляються кривої циклу, як показано на рис. 5.
Залежно від характеру фазових траєкторій, що починаються на околиці циклу, останні розрізняють таким чином:
Серед граничних циклів розрізняють:
Ненасиченим циклом називається цикл такий, що фазові траєкторії, що починаються в його околиці, залишаються в цьому околиці, не уникаючи циклу і не наближаючись до нього.
Граничним циклом називається цикл такий, що фазові траєкторії, що починаються в його околиці, або наближаються до нього зі зростанням часу в позитивному напрямку, або віддаляються від нього. При зміні знаку часу характер поведінки фазових траєкторій на околиці граничного циклу змінюється протилежний.
Граничний цикл називається стійким, якщо фазові траєкторії, що починаються в будь-якій точці його досить малої околиці, наближаються до нього зі зростанням часу (рис. 6, а).
Нестійким граничним циклом називається такий, що знайдеться хоча б одна фазова траєкторія, що починається в його околиці, яка віддаляється від нього (рис. 6, б).
Якщо нелінійна система має кілька циклів, вкладених один в одного, то стійкі та нестійкі цикли чергуються.
Деякі динамічні системи мають напівстійкі цикли, тобто такі, що траєкторії, що починаються з одного боку циклу, наближаються до нього, а з іншого не наближаються і не йдуть від нього, як показано на рис. 6, ст.
   |
Якщо диференціальні рівняння системи (1) задовольняють умов існування та єдиності розв'язання задачі Коші, то фазові траєкторії не перетинаються за жодних кінцевих значень часу.
Ізокліни. Особливі напрямки, сепаратриси. Ізокліною називається геометричне місце точок, в яких кут нахилу дотичної до фазової траєкторії той самий (рис. 7, рис. 8). Для отримання рівняння ізоклін розділимо друге рівняння (1) на перше і прирівняємо це відношення деякому числу, тобто.
Рівність (3) є рівнянням ізокліни, що відповідає нахилу дотичних під кутом .
Раніше ізокліни використовувалися для наближеної побудови фазових портретів нелінійних систем (див. [26. С. 17]). В даний час фазові портрети нелінійних систем другого порядку набагато зручніше будувати за допомогою ЕОМ шляхом вирішення диференціальних рівнянь наближеними чисельними методами, наприклад методом Рунге-Кутта. Для цього існують спеціальні програми.
На фазовому портреті динамічної системи може бути звані особливі напрями. Особливий напрямок - це пряма, у її точках якої дотичні до фазової траєкторії збігаються з фазової траєкторією.
Особливі напрямки зазвичай спостерігаються на фазових портретах лінійних систем і пов'язані з наявністю речових коренів характеристичного рівняння відповідної системи.
  |
Крім того, на фазовому портреті можуть бути сепаратриси. Сепаратриси – це лінії, що розділяють області фазового портрета з різним характером фазових траєкторій. Зазвичай сепаратриси, як і особливі напрями, або починаються і закінчуються на околицях особливих точок, або починаються на околиці особливої точки і йдуть у нескінченність, як показано на рис. 8.
На цьому малюнку початок координат є особливою точкою, а похилі прямі, проведені через нього, – сепаратрисами та особливими напрямками одночасно.
Особливий вид фазового портрета. Дуже часто рівняння нелінійної системи мають вигляд
тобто. змінна є похідною за часом від . І тут зручно позначити через , а через . Тоді рівняння (4) запишуться так:
При цьому ізокліни визначаються рівнянням
У цьому випадку фазові траєкторії мають ряд специфічних властивостей. Нехай. Тоді, згідно (6),
Це означає, що всі фазові траєкторії перетинають вісь абсцис під кутом, як показано на рис. 9.
Крім того, з рівнянь (5) слід, що всі особливі точки даної системи можуть розташовуватися тільки на осі, а точка, що зображає, може рухатися при тільки за годинниковою стрілкою, що також показано на рис. 9.