Основу поняття стереометрії
І. Узагальнення та систематизація знань учнів
Просторові геометричні фігури
У 7-9 класах ви познайомились із планіметрією. Планіметрія - це розділ геометрії, у якому вивчають властивості плоских геометричних фігур: трикутників, паралелограмів, кіл і т.д.
Але, крім плоских фігур, існують і просторові фігури: прямокутний паралелепіпед, куб, піраміда, циліндр, конус, куля. Багато навколишніх предметів мають форму прямокутного паралелепіпеда: класна кімната, цегла, сірникова коробка і т.д. Популярна у всьому світі іграшка – кубик Рубік – має форму куба. Добре відомі піраміди Стародавнього Єгипту дають нам уявлення про широкий клас геометричних тіл, які називаються пірамідами.
У курсі креслення та математики 5 - 6 класів ви вчилися будувати зображення цих просторових фігур. На рис. 1 зображено прямокутний паралелепіпед.
Прямокутний паралелепіпед – це просторова геометрична фігура, обмежена шістьма прямокутниками, які називаються гранями. Сторони прямокутників називаються ребрами прямокутного паралелепіпеда.
Назвіть вершини, ребра, грані прямокутного паралелепіпеда, зображеного на рис. 1.
Куб - це прямокутний паралелепіпед, у якого всі шість граней квадрата (рис. 2).
Назвіть передню, задню, ліву, праву, верхню, нижню грані куба, зображеного на рис. 2.
Верхню і нижню грані прямокутного паралелепіпеда називають основами, а ребра цих граней - ребрами основи, інші ребра називають бічними ребрами, інші грані - бічними гранями.
Назвіть бічні ребра прямокутного паралелепіпеда (див. рис. 1) та куба (див. рис. 2).
n -вугільною пірамідою називаєтьсягеометричне тіло, обмежене n-кутником (який називається основою піраміди) і n трикутниками (бічними гранями) із загальною вершиною (яка називається вершиною піраміди). На рис. З зображено трикутну піраміду, яку ще називають тетраедром, на рис. 4 – чотирикутну піраміду.
Назвіть основи, бічні грані, бічні ребра, ребра основи, вершини пірамід, зображених на рис. 3 та 4.
Паралелепіпеди та піраміди – це представники великого класу геометричних фігур, які називаються багатогранниками. Окрім багатогранників у геометрії розглядають і інші просторові фігури: циліндри, конуси, кулі тощо.
Розділ геометрії, у якому вивчаються властивості просторових фігур, називається стереометрією.
У 10 та 11 класах ми вивчатимемо властивості просторових фігур.
ІІ. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу
Основні поняття стереометрії
Основними фігурами у просторі є точка, пряма та площина.
Уявлення про точки та прямі ви маєте з курсу планіметрії. Нагадаємо, що точки позначаються великими латинськими літерами, наприклад точки А, В, С. ; прямі позначаються малими латинськими літерами, наприклад, прямі а, b, с. або двома великими літерами, наприклад, АВ, ПС, CD. Матеріальними моделями частини площини, наприклад, поверхня столу, поверхня шибки, поверхня мармурової плити і т.д. У геометрії площину мислять необмеженою, ідеально рівною та гладкою.
Зображують на площині як паралелограма (рис. 5) чи вигляді довільної області (рис. 6).
Позначають площини грецькими літерами, наприклад α, β, γ. На рис. 5 зображено площину на рис. 6 – площина β. Гранібагатогранників – це частини площин.
Як і будь-яка геометрична фігура, площина складається з крапок. Якщо точка А лежить у площині α, то кажуть, що площина α проходить через точку А, і записують: А α. Якщо точка А не лежить у площині α, то кажуть, що площина α, яка не проходить через точку А, і записують: Аα.
Якщо кожна точка прямої а лежить у площині α, кажуть, що пряма а лежить у площині α, або площина α проходить через пряму а та записують: а α. Запис α означає, що прямий а не лежить у площині α.
Побудуйте та запишіть за допомогою символів:
а) площина і точка А, що лежить у ній;
б) площину α і точка В, що не лежить у ній;
в) площину β, яка проходить через пряму а;
г) площину і пряму а, яка не лежить у площині;
д) дві площини і β, які проходять через пряму с.
Як і планіметрії, властивості основних фігур у стереометрії виражаються аксіомами.
Нагадаємо, що в планіметрії властивість прямих і точок виражалася аксіомою:
Яка б не була пряма, існують точки, що належать їй, і точки, які їй не належать.
Наприклад, на рис. 3 точки А та В належать прямій АВ, а точки S та С їй не належать.
Взявши будь-яку площину (наприклад, площину підлоги класної кімнати), ми можемо вказати точки, що належать цій площині, і точки, які їй не належать. Тому однією з властивостей площини аксіома С1:
Якою б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.
Використовуючи зображення куба на рис. 2, вкажіть точки, які:
а) не належать передній грані;
б) належать до верхньої грані;
в) належать грані ABCD;
г) не належать межі А1В1ВА.
Розглянемо другу аксіому стереометрії С2:
Якщо дві різні площини мають загальну точку, вони перетинаються по прямий, що проходить через цю точку.
Наочною ілюстрацією цієї аксіоми є перетин двох стін, стіни та підлоги класної кімнати.
Користуючись рис. 1, вкажіть:
а) загальні точки верхньої та передньої граней;
б) пряме перетинання площин задньої та нижньої граней;
в) загальні точки площин граней АВВ1А1 і Α1Β1С1 D 1 ;
г) пряме перетинання площин граней Α1Β1С1 D 1 і ВВ1С1С.
Жодних інструментів, якими можна було б проводити у просторі площини, немає. Тому вираз «можна провести площину» вживається у сенсі «існує площина».
Третя аксіома стереометрії С3 стверджує:
Якщо дві різні прямі мають загальну точку, через них можна провести площину і лише одну.
1. Користуючись рис. 1, вкажіть, яку площину визначають прямі:
2. Використовуючи зображення куба на рис. 2, доведіть, що можна провести площину через прямі:
3. Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки (рис. 7) була плоскою, столяр зробив так; позначив на ребрі балки точку А і провів від неї в потрібному напрямку два відрізки АВ та АС у суміжних гранях балки, потім направив пилку по наміченим відрізках. Поясніть, чи має утворитися плоска поверхня розпилу.
4. Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи кінці чотирьох ніжок стільця лежать в одній площині. Як це він робить?
Слід зазначити, що у просторі існує безліч площин, і кожної площини справедливі все аксіоми і теореми планиметрии. Більше того, ознаки рівності та подоби трикутників справедливі і для трикутників, які лежать у різних площинах.
III. Закріплення та осмислення знань учнів
1. Доведіть, що вершини паралелограма АВС D лежать в одній площині.
2. Дано дві прямі а і b, через які не можна провести площину. Доведіть, що ці прямі не перетинаються.
3. Доведіть, що дві прямі у просторі можуть перетинатися більш ніж в одній точці.
4. Чи можуть дві площини мати лише одну загальну точку?
5. Чи можуть три площини мати лише одну загальну точку?
6. Через точку проведено три прямі, які не лежать в одній площині. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, беручи їх попарно?
7. Завдання .№ 2 із підручника (с. 9).
8. Завдання №5 із підручника (с. 9).
IV. Домашнє завдання
§1, п. 1; контрольні питання №1,2; завдання № 1, 3 із підручника
V. Підбиття підсумку уроку
При підбитті підсумку уроку можна скористатися цією схемою.