Підпілля, просте поле, підпілля поля дійснихчисел, підполе поля комплексних чисел
Підполе. Просте поле.БезлічMполяPназивається підполемP, якщо воно саме є полем при тих же операціях складання та множення, які задані в поліP. ТодіPназивається надполем або розширенням поляM.
Так, поле раціональних чисел є підполем поля дійсних чисел, а останнє – підполем поля комплексних чисел.
Теорема 5.Для того щоб безлічMполяP, що містить не менше двох елементів, було підполем, необхідно і достатньо, щоб сума, різницю, добуток і приватне (якщо воно існує в P) будь-яких елементів зMзнову належали доM.
Доказ цілком аналогічно проведеному для відповідної теореми про кільця (теорема 4).
Будь-яке підполеMполяPмістить 0 як різницюa-a, де , і одиницю як приватне , де ,a≠ 0.
Теорема 6.Перетин (у сенсі перетину множин) будь-якої множини надполів поляPзнову є підполем поляP.
Відповідна теорема вірна і для кілець, тобто перетин будь-якої безлічі підкілець кільцяRє підкільце кільцяR. Доказ її цілком аналогічний даному тут для полів.
Доказ.Нехай Ms> є деяка безліч підполів, де індексиsутворюють безлічSі - перетин всіх підполівMsданої множини; 0 і 1 входять у кожне підполіMsі, отже, уD. Отже,Dмістить щонайменше двох елементів. Якщоaіb- елементиD, вони входять у кожнеMsі з теоремі 5a+b,a-b,ab, а приb≠ 0 і також входять доMs, отже, й уD. У силу теореми 5D- підпілля поляP.
Поле, яке має підполів, відмінних від нього самого, називається <простим .
Прикладами простих полів можуть бути поле раціональних чисел і поля відрахувань за простим модулемp.
Будь-яке підполеMполяPраціональних чисел містить число 1, отже, і його кратніn· 1 =n, т.і. е. всі цілі числа, а значить, і всі їх приватні, тобто всі раціональні числа. Отже,M=P, тобтоP- просте поле. Так само будь-яке підполеMполяCpвідрахувань за простим модулемpмістить клас (1), службовець одиницеюCp, отже, будь-який клас (r) якr-кратне класу (1). Отже,M=Cp, тобтоCp- просте поле.
Можна довести, що цими полями певною мірою вичерпуються всі прості поля.
Теорема 7.Будь-яке поле містить просте підполі і до того ж лише одне.
Доказ.ПолеPвзагалі містить підполя (наприклад, самеP). НехайDє перетин всіх підполів поляP. По теоремі 6Dє підполемPі за визначенням входить у будь-яке підполі. НехайM- підполіD, відмінне відD.
З визначення підполя випливає, очевидно, щоMбуде підполем іP, іDне входить уM, що неможливо. Отже,D- просте підполеP. ЯкщоD'- також просте підполі поляP, то перетин буде знову підполем поляP, причому і . Але з визначення підполя випливає, що в такому випадкуD"буде підполем як дляD, так і дляD', а так якDіD'- прості підполя, тоD=D"=D', чим доведена єдиність простого підполя.