Полілінійні форми
Індивідуальні онлайн уроки: Надішліть запит зараз: [email protected] Математика (ЄДІ, ОДЕ), Англійська мова (розмовна, граматика, TOEFL) Рішення задач: з математики, IT, економіки, психології Полілінійні форми Навчальні дисципліни на сайті Bodrenko.org Портабельні Windows-програми на сайті Bodrenko.com
§ 5. Полілінійні форми
Визначення. Полілінійною формою А(х1, х2. хр) р векторних аргументів називається числова функція, визначена на різних векторах х1, х2. хр лінійного простору L і лінійна кожного з аргументів, при фіксованих значеннях інших аргументів. Найпростішим прикладом полілінійної форми може бути добуток лінійних форм А(х1) А(х2). А(хр). Полілінійна форма А(х1, х2. хр) називається симетричною (кососиметричною), якщо для кожних двох її аргументів х k і х l і для будь-яких значень цих аргументів виконується співвідношення
Нехай полілінійна форма А(х1, х2. хр) задана в кінцевому лінійному просторі L, і нехай e1, е2, . е n — базис у L. Звернемося до розкладання кожного вектора х i за базисними векторами e1, е2, . е n :
Підставляючи вирази для х i за формулами (7.37) у полілінійну форму А(х1, х2. хр) та використовуючи властивість лінійності цієї форми за кожним аргументом, отримаємо
Таким чином, значення полілінійної форми А(х1, х2. хр) у кінцевому просторі з виділеним базисом e1, е2, . е n визначаються всілякими значеннями A(ej1, j 2, . e j p) цієї форми на векторах ej1, j 2, . e j p. Доведемо таке твердження. Теорема 7.7. Будь-яка полілінійна кососиметрична форма А(х1, х2. х n ), задана п-мірному лінійному просторі L з виділеним базисом e1, е2, . е n може бути представлена у вигляді
де а = А(e1, е2, . е n), а ( ξ i 1,ξ i 2, . ξ in) - координати вектора х i в базисі e1, е2, . е n . Доказ. Оскільки форма А(х1, х2. х n ) є кососиметричною, то довільної перестановки (j1, j2. jn) індексів (1, 2. n ) маємо
де N(j1, j2. jn) - Число заворушень у перестановці (j1, j2. jn). У силу кососиметричності форми для двох однакових індексів jk і jl (jk = j l) значення A(ej1, . jk, . ejl, . Звідси і з співвідношення (7.40) випливає, що для випадку, що розглядається, співвідношення (7.38) набуде вигляду
Порівнюючи формулу (7.41) з формулою (1.28) гол. 1 для визначника порядку n ми переконаємося в справедливості співвідношення (7.39). Теорему доведено.