Реферат Обчислювальна математика - Банк рефератів, творів, доповідей, курсових та дипломних робіт
Формула (2.5) є розрахунковою формулою методу простих ітерацій.
Якщо послідовність сходиться при n®, тобто існує
x * = xn, (2.6)
і функція j(x) безперервна, то, переходячи до межі (2.5) і враховуючи (2.6), отримаємо:
x * = xn = j (x n -1) = j (xn -1) = j (x *).
Отже, x* = j(x*), отже, x* – корінь рівняння (2.4).
Збіжність методу. Схожість методу простих ітерацій встановлює така теорема.
Теорема 2.2.Якщо в інтервалі, що містить корінь x* рівняння (2.4), а також його послідовні наближення x0, x1, …, xn, …, що обчислюються за формулою (2.5), виконано умову:
j'(x) Ј q 0 (рис. 2.3), збіжність має односторонній характер, а якщо j'(x) 1 – ітераційний процес розходиться. У цьому може бути одностороння (рис. 2.5) і двостороння (рис 2.6) розбіжність.
Мал. 2.3 Мал. 2.4 Мал. 2.5
Похибка методу.Якщо відома величина q за умови (2.7), то застосовна наступна апостеріорна оцінка похибки:
xn – x* xn – xn – 1, n > 1. (2.9)
Критерій закінчення. З оцінки (2.9) випливає наступний критерій закінчення ітераційного процесу. Обчислення слід продовжувати до виконання нерівності
xn - xn - 1 0, а f(p/3) 0 на відрізку [p/6, p/3], то похідна j '(x) монотонно зростає на цьому відрізку і приймає максимальне значення на правому кінці відрізка, т.е. е. у точці p/3. Тому справедлива оцінка:
j '(x) ' j '(p/3) » 0.312.
Таким чином, умова (2.7) виконано, q 0 обчислення потрібно вести доти, доки не буде виконано нерівність
xn - xn - 10, p - натуральне число. Обчислення еквівалентне рішенню рівняння xp = a. Таким чином, потрібно знайтикорінь рівняння f(x) = 0, f(x) = xp – a, f'(x) = pxp – 1. Ітераційна формула методу (2.13) набуде вигляду:
xn +1 = xn - = xn +. (2.19)
Використовуючи формулу (2.19) знайдемо з точністю e = 10-3.
xn +1 = xn +.
Простий корінь рівняння x3 - 7 = 0 розташований на відрізку [1, 2]. Справді, на кінцях відрізка [1, 2] функція f(x) = x3 – 7 приймає різні знаки, f(1)0. Крім того, при x = 2 виконано достатню умову збіжності (2.16): f(2)f" (2) і 0.
Тому як початкове наближення можна взяти x0 = 2.