Рівень значущості та потужність критерію
Перевіряючи гіпотези за допомогою статистичного критерію, може виникнути одна з чотирьох ситуацій: 1) гіпотеза H0 істинна (і тому H1 - хибна) і робиться дія А; 2) гіпотеза H1 істинна (і тому H0 - хибна) і робиться дія А; 3) ) гіпотеза H0 істинна (і тому H1 - хибна) і робиться дія В; 4) гіпотеза H1 істинна (і тому H0 - хибна) і робиться дія В. У ситуаціях 2 і 3 виходить помилка. Існує 2 типи помилок. Помилка, яка полягає у прийнятті гіпотези H0, коли вона помилкова (помилка другого роду), якісно відрізняється від помилки, що полягає у запереченні H0, коли вона істинна (помилка першого роду). При цьому числа αi = αi(δ) = Pi(δ(X)≠ Hi), що характеризують ймовірність заперечення гіпотези Hi, коли вона вірна, називають ймовірностями помилок (i+1)-го роду критерію δ. Набір ймовірностей αi(δ) помилкових рішень характеризується кач-вом критерію δ. Правильне рішення також може бути прийнято двома способами (ситуації 1 і 4): коли гіпотеза H0 приймається, бо вона є вірною, і коли гіпотеза H0 відкидається, бо вона помилкова. У ситуації 1 не відбувається помилка першого роду, у ситуації 4 – другого роду.
Рівень значимості критерію змінює ступеня ризику, що з можливістю помилки другого роду, тобто. із прийняттям невірної гіпотези. І за даного рівня значущості можна по-різному визначити критичну область. Як правило, її визначають так, щоб потужність критерію 1 - α1(δ) була можливо більшою: P (X] x1; x2 [H1) = max. Потужністю критерію називається ймовірність 1 – α1(δ) недосконалості помилки другого роду. Чим більша потужність критерію, тим менша ймовірність прийняття невірної гіпотези.
Критерій згоди.
Критерій згодиПірсона заснований на виборі певної міри розбіжності між теоретичним та емпіричним (отриманим з експерименту) розподілами. Причому завдання перевірки узгодженості теорії з досвідченими даними можна сформулювати в наступному вигляді: є вибірка х1, х2, …, хn спостережених значень деякої СВ Х. Потрібно визначити, що вибіркове розподілення належить певному розподілу (нормальному, биномиальному, показовому і т.д. – гіпотеза Н0 проти альтернативної гіпотези Н1 – розподіл не належить до обраного розподілу. Допустимо спочатку, що гіпотеза Н0 повністю визначає вид функції Р, і ймовірність P(xj Si) може бути обчислена для будь-якого заданого мн-ва S1, S2, …, Sk - це або інтервали для безперервної СВ, або групи окремих значень дискретної СВ, які мають загальних точок. Нехай pi = P(xj Si) – ймовірність те, що СВ Х приймає значення, що належать мн-ву Si і =1, причому все pi0, 0, i = . Відповідні групові частоти вибірці m1, m2, …, mk, тобто. mi - це число значень СВ Х з вибірки, що потрапили до Si. Зрозуміло, що =n. Якщо перевірена гіпотеза Н0 правильна, то розподіл вибірки можна як статистичний аналог для генерального розподілу, що визначається функцією р(х). Це означає, що mi є частотою появи події з ймовірністю pi = P(Si) у нашій послідовності з n спостережень. Отже, будь-яке мн-во Si має у першому розподілі відносні частоти mi/n, тоді як у другому – ймовірності pi. Тоді, згідно з методом найменших квадратів, за міру розбіжності між розподілом вибірки і теоретичним розподілом приймемо величину Ci(mi/n - pi) 2 де Ci - довільний коефіцієнт. Пірсон довів, що якщо Ci = n/pi, то вийде міра розбіжності виду 2 = , така, що при збільшенніобсягу вибірки вибіркове розподіл величини χ 2 прагне граничного розподілу χ 2 з υ = κ – r – 1 ступенями свободи ( до – число інтервалів чи груп, на які розбито все мн-во спостережених даних, r – число параметрів гіпотетичного розподілу ймовірностей Р, оцінюваних за даними вибірки). Це твердження випливає з того, що якщо гіпотеза Н0 правильна, то спільним розподілом групових частот mi, i = є просте спілкування біномного розподілу, і тоді випадкові величини Xi = (mi - npi)/ нормально розподілені, а їх сума квадратів χ 2 = має розподіл χ 2 з υ = κ – r – 1 ступенями свободи. Для того щоб величина критерію приблизно мала χ 2 -розподіл, теоретичні частоти npi повинні бути не дуже малими.