Шпаргалка - Софізми
Міська відкрита науково-практична конференція
школярів та студентів
Цілі, завдання, актуальність
Дати визначення софізму
Визначити сферу його застосування
Дізнатися, які бувають софізми
Навести приклади софізмів
Скласти свій софізм
Нині уроки математики, мій погляд, переважно проходять сухо, одноманітно і завжди викликають особливого інтересу в учнів. Застосування софізмів допоможе виправити це, прищепити інтерес до предмета, урізноманітнити урок.
Софізм (від грец. σόφισμα, «майстерність, вміння, хитра вигадка, хитрощі») — хибний висновок, який, проте, при поверхневому розгляді здається правильним. Софізм ґрунтується на навмисному, свідомому порушенні правил логіки.
Аристотель називав софізмом «уявні докази», у яких обгрунтованість висновку здається і має суто суб'єктивного враження, викликаного недостатністю логічного чи семантичного аналізу. Переконливість на перший погляд багатьох софізмів, їхня «логічність» зазвичай пов'язана з добре замаскованою помилкою — семіотичною. За рахунок метафоричності мови, омонімії або полісемії слів, амфіболій та інших, що порушують однозначність думки і призводять до змішування значень термінів, або ж логічної: підміна основної думки (тези) докази, прийняття помилкових посилок за дійсні, недотримання допустимих ), використання «невирішених» чи навіть «заборонених» правил чи дій, наприклад поділу на нуль у математичних софізмах (останню помилку можна вважати і семіотичною, оскільки вона пов'язана з угодою про «правильно побудовані формули») відбувається порушення правил логіки.
Ось один ізстародавніх софізмів («рогатий»), що приписується Евбулід: «Що ти не втрачав, то маєш. Рогу ти не втрачав. Значить, у тебе роги». Тут маскується двозначність більшої посилки. Якщо вона мислиться універсальною: «Все, що ти не втрачав…», то висновок логічно бездоганний, але нецікавий, оскільки очевидно, що велика посилка хибна; якщо ж вона мислиться приватною, то висновок не слід логічно. Останнє, однак, стало відомо лише після того, як Арістотель створив логіку.
А ось сучасний софізм, який доводить, що з віком «роки життя» не тільки здаються, а й насправді коротше: «Кожен рік вашого життя — це її 1/n частина, де n — кількість прожитих вами років. Але n+1>n. Отже, 1/(n + 1) 1
Даний дріб: 1/Х. Як відомо, вона зростає із зменшенням знаменника
Тому, т.к. ряд 5, 3, 1, -1, -3, -5 спадний, ряд видів 1/Х=1/5, 1/3, 1, -1, -1/3, -1/5 і т.д . є зростаючий. Але в зростаючому ряду кожен наступний член більше попереднього, а це означає: 1/3 1/5, 1 1/3, -1 +1 ...
1) Х2-X2 = X2-X2; (X + X) (X-X) = X (X-X); скорочуємо: X+X=X; 2X = X; 2 = 1.
2) Х = 1; X2 = X; X2-1 = X-1; X+1=1, але т.к. Х = 1, то 2 = 1.
Тут ми поговоримо про парадокси у розділі математики. І ось справді найпарадоксальніше — це те, що в математиці взагалі є парадокси.
Парадокс несумірності величин
Це явище мало місце у давнину, коли людям були знайомі лише раціональні числа.
Дві однорідні величини, наприклад, довжини, площі чи обсяги, можна порівняти, якщо є їх загальна міра, тобто. якщо існує така однорідна з ними величина, що вкладається в них ціле число разів (загальний дільник). Вважалося, що це вищезгадані величини можна порівняти.
Але раптом виявилося, що діагональквадрата та його сторона не мають такого загального заходу, і їхнє приватне не можна було висловити за допомогою відомих чисел. Парадокс полягав у тому, що окремо кожна з непорівнянних величин може бути виміряна та кількісно точно визначена, а їхнє відношення – ні. Наприклад, якщо візьмемо бік квадрата і почнемо відкладати її на діагоналі, то виявимо, що вона укладається тільки один раз і залишається залишок. Тоді, якщо ми покладемо залишок у бік квадрата, все буде ОК. Але й він не вміщується. Далі отриманий залишок не рівний 2 не вміщається залишок не рівний 1 і так далі.
В результаті це відношення було виражено як квадратний корінь з 2. Пізніше знайшли й інші незрівнянні величини, такі як відношення довжини кола до діаметру і площі кола до площі квадрата, побудованого на радіусі (обидва дорівнюють числу π).
Т.к. не було фізичного тлумачення цих чисел, яке було раціональних (найбанальніше — дві корови, висота споруди — тридцять три цілих і половина каменю), то греки придумали ірраціональні, тобто. «Безглузді», числа впровадити в геометрію, позначати ними довжини певних відрізків, а чи не числа.
Парадокс нескінченно малих величин
Математична криза в цій галузі існувала в період XVII - XVIII століть.
Нескінченно малі — це змінні величини, які прагнуть нуля, або, якщо бути точніше, до межі, що дорівнює нулю. Проблема полягала у тому туманному розумінні: вони розглядаються як числа рівні нулю, те, як йому нерівні. Причому за такого підходу люди розглядали їх як постійні величини. Тоді з цього та з назви таких величин випливає, що нескінченне є чимось завершеним.
Криза перестала бути такою після створення теорії меж на початку XIX століттяфранцузьким математиком Огюстеном Луї Коші (1789 - 1857). З того моменту нескінченно малі величини розглядаються як постійно змінювані, а не постійні, які прагнуть межі, але ніколи його не досягають. Числа, що постійно змінюються!
Парадокс пов'язані з теорією множин.
Наприклад, "каталог всіх нормальних каталогів".
Каталоги поділяються на два види: 1) нормальні, які в числі перелічених у них каталогів не згадують себе, і 2) ненормальні, які входять до числа каталогів, що ними перераховуються.
Бібліотекареві дається завдання скласти каталог всіх нормальних каталогів і лише нормальних каталогів. Чи повинен він при складанні свого каталогу його згадати? Якщо він його не згадає, то складений ним каталог буде нормальним. Але такий каталог має згадатися, а тоді це вже ненормальний каталог, і зі списку має бути викреслено. Бібліотекар не може ні згадати, ні згадати свій каталог.
Тепер розповімо про варіації цього феномена. Почнемо з більш простого та відомого.
Парадокс перукаря (приписується також Бертрану Расселу)
У якомусь селі (деякому взводі і т.д.), у якому живе один-единственный перукар, було видано указ: «Перукар має право голити тих і тих жителів села, які самі голяться». Чи може перукар голити себе?
Парадокс «мер міста»
Кожен мер міста живе або у своєму місті, або поза ним. Було виділено одне спеціальне місто, де жили мери, які у своїх містах. Де має жити мер цього спеціального міста?
Парадокс Кантора (1899)
Згідно з однією з теорем німецького математика Георга Кантора (1845 - 1918), що розвинув вже згадану теорію множин, не існує найпотужнішої множини. Цез огляду на те, що для будь-якої скільки завгодно потужної множини можна вказати ще потужніше. З іншого боку, інтуїтивно очевидно, що безліч усіх множин має бути найпотужнішою, адже вона включає всі можливі множини.
Іншими словами, нехай безліч усіх множин M містить у собі безліч усіх своїх підмножин (адже воно ж безліч усіх множин). Якщо перше має потужність m, то потужність другого 2m, що більша за m. Отже, множина M не містить множини всіх своїх підмножин, а, отже, не може бути множиною всіх множин.
Почнемо з однієї з його математичних інтерпретацій:
Спробуємо довести методом математичної індукції нерівність
База за n = 1 очевидна.
Припускаючи, що для деякого k наша нерівність вірна, і починаючи доказ для k+1, отримаємо
Нам залишається довести, що
— тоді наша нерівність 100% є істинною.
Зведемо обидві частини нерівності у квадрат і, після алгебраїчних перетворень, отримаємо