Трикутник – ov1098s Jimdo-Page!

Ознаки рівності трикутників

1. Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то трикутники рівні.

2. Якщо сторона і два кути одного трикутника, що до неї прилягають, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то трикутники рівні.

3. Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то трикутники рівні.

Ознаки рівності прямокутних трикутників

1. За двома катетами.

2. По катету та гіпотенузі.

3. По гіпотенузі та гострому куту.

4. По катету та гострому кутку.

Теорема про суму кутів трикутника та наслідки з неї.

1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

2. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх не суміжних із ним кутів.

3. Сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180(n-2).

4. Сума зовнішніх кутів n-кутника дорівнює 360 градусів.

5. Кут між бісектрисами суміжних кутів дорівнює 90.

6. Бісектриси внутрішніх односторонніх кутів при паралельних прямих та січній перпендикулярні.

Нерівність трикутника та наслідки з нього.

1. Сума двох сторін трикутника більша за його третю сторону.

2. Сума ланок ламаної більша від відрізка, що з'єднує початок першої ланки з кінцем останньої.

3. Проти більшого кута трикутника лежить більша сторона.

4. Проти більшої сторони трикутника лежить більший кут.

5. Гіпотенуза прямокутного трикутника більша за катет.

6. Якщо з однієї точки проведені до прямої перпендикуляр м похилі, то

1)перпендикуляр коротше похилих

2)більшій похилій відповідає велика проекція та навпаки.

Середня лінія трикутника

Відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією трикутника.

Середня лінія трикутника паралельна стороні трикутника і дорівнює її половині.

Теореми про медіани трикутника

1. Медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться нею щодо 2:1, рахуючи від вершини.

2. Якщо медіана трикутника дорівнює половині сторони, до якої вона проведена, то трикутник прямокутний.

3. Медіана прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи.

Властивість серединних перпендикулярів до сторін трикутника

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, описаного біля трикутника.

Теорема про висоти трикутника

Прямі, що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці.

Теорема про бісектриси трикутника

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаного в трикутник.

Властивість бісектриси трикутника

Бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки пропорційні двом іншим сторонам.

Ознаки подоби трикутників

1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

2. Якщо дві сторони одного трикутника відповідно пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути, укладені між цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.

3. Якщо три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого, то трикутники подібні.

Площі подібних трикутників

1. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

2. Якщо два трикутники мають рівні кути, то їх площі відносяться як добутки сторін, які укладають ці кути.

У прямокутному трикутнику

1. Катет прямокутного трикутника дорівнює добутку гіпотенузи на синус протилежного або косинус гострого кута, що прилягає до цього катету.

2. Катет прямокутного трикутника дорівнює іншому катету, помноженому на тангенс протилежного або котангенс гострого кута, що прилягає до цього катету.

3. Катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30 градусів, дорівнює половині гіпотенузи.

4. R=c:2; r=(a+b-c):2=p-с, де a,b-катети, а з-гіпотенуза; R-радіус описаного кола, r-радіус вписаного кола, p-напівпериметр.

Середні пропорційні прямокутному трикутнику

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнє пропорційне проекцій катетів на гіпотенузу, а кожен катет є середнє пропорційне гіпотенузи та своєї проекції на гіпотенузу.

Метричні співвідношення у трикутнику

Теорема косінусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.

Наслідок з теореми косінусів

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх сторін.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Узагальнена теорема синусів

Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного біля трикутника.

---