Вектор (геометрія)

Вектор- поняття, що визначається в різних розділах математики по-різному.

1. Визначення

1.1. Алгебраїчний підхід

У лінійній алгебрівектор- це елемент векторного простору (або інакше:лінійногопростору). Вектори можна складати та множити на число. Вектор також можна подати у вигляді лінійної комбінації інших векторів. Базис - целінійно незалежнасукупність векторів, яка породжує весь простір. У кінцевомірному просторі існує кінцевий базис, і тоді будь-який вектор простору може бутиєдиним чином представлений у вигляді розкладання виду

де це базис, а координати вектора в заданому базисі.

1.2. Геометричний підхід

Поняттявекторв геометрії на відміну від визначається в алгебрі. Розрізняють поняття вільного та пов'язаного (доданого, закріпленого) вектора.

  • Пов'язаний векторабоспрямований відрізок— упорядкована пара точок евклідового простору.
  • Вільний вектор- клас еквівалентності спрямованих відрізків.

При цьому два спрямовані відрізки вважаються еквівалентними, якщо вони:

  1. колінеарні
  2. рівні за довжиною
  3. однаково спрямовані (соннаправлені)

Існує природний ізоморфізм вільних векторів та паралельних переносів простору (кожен перенесення взаємно однозначно відповідає якомусь вільному вектору). На цьому також будують геометричне визначення вільного вектора просто ототожнюючи його з відповідним переносом.

Велику роль грають вектори до вивчення нескінченно малих трансформацій простору.

1.2.1. Вільні, ковзні та фіксовані вектори

Іноді замість того, щоб розглядати як вектори безлічвсіхрівних спрямованих відрізків, беруть тільки деяку модифікацію цієї множини (фактормножина). Так, говорять про «вільні» (коли ототожнюються всі рівні за довжиною і напрямом спрямовані відрізки, вважаючись повністю рівними або одним і тим же вектором), «ковзаючих» (тотожнюються між собою всі спрямовані відрізки, рівні в сенсі вільних векторів, початку і кінці яких розташовані на одній прямій) і «фіксованих» векторах (по суті, просто про спрямовані відрізки, коли різний початок означає вже нерівність векторів).

Визначення. Кажуть, щовільнівектори і рівні, якщо знайдуться точкиEіFтакі, що чотирикутникиABFEіCDFE- Паралелограми.

  • Зауваження. «хитрощі» (введення додаткових точок) у визначенні рівності стосується, перш за все, випадку, коли точкиA,B,C,Dрозташовуються однією прямий. В іншому випадку визначення виглядає простіше:

Визначення. Говорять, щовільнівектори і , що не лежать на одній прямій, рівні, якщо чотирикутникABDC— паралелограм.

Визначення. Кажуть, що векториковзніі рівні, якщо

  • точкиA,B,C,Dрозташовуються на одній прямій,
  • вектори та рівні між собою як вільні вектори.

Неформально кажучи, ковзному вектору можна рухатися вздовж його прямої без зміни величини і напряму.

  • Зауваження. Ковзаючі вектори особливо використовуються в механіці. Найпростіший приклад ковзного вектора в механіці – сила. Перенесення такого початку векторавздовж прямої, на якій він лежить, не змінює моменту сили щодо жодної точки; перенесення його на іншу пряму, навіть якщо не змінювати величини та напрямки вектора, може викликати зміну його моменту (скоріше навіть майже завжди викличе): тому не можна розглядати силу як вільний вектор.

Визначення. Кажуть, щофіксованівектори і рівні, якщо попарно збігаються точкиAіC,BіD.Векторому найпростішому випадку називається спрямований відрізок, а інших випадках різні вектори — це різні класи еквівалентності спрямованих відрізків, зумовлені якимось конкретним відношенням еквівалентності. Причому відношення еквівалентності може бути різним, визначаючи тип вектора (вільний, фіксований ітд). Простіше кажучи, всередині класу еквівалентності всі відрізки, що входять до нього, розглядаються як абсолютно рівні, і кожен може одно представляти весь клас.

1.3. Вектор як послідовність

Вектор- впорядкована пара чисел (послідовність, кортеж) однорідних елементів. Це найбільш загальне визначення тому, що може бути не задано звичайних векторних операцій взагалі, їх може бути менше, або вони можуть не задовольняти звичайним аксіомам лінійного простору. Саме в такому вигляді вектор розуміється у програмуванні, де, як правило, позначається ім'ям-ідентифікатором із квадратними дужками (наприклад, object[] ). Перелік властивостей моделює прийняте теоретично систем визначення класу та стану об'єкта. Так типи елементів вектора визначають клас об'єкта, а значення елементів його стан. Втім, мабуть, це вживання терміна вже за межі зазвичай прийнятого в алгебрі, та й у математиці взагалі.

Багатоматематичні об'єкти (наприклад матриці, тензори, функції тощо. буд.), зокрема які мають структурою більш загальної, ніж лічильний чи кінцевий упорядкований список, задовольняють аксіомам векторного простору, тобто є з погляду алгебри векторами.

2. Позначення

Вектор, представлений наборомnелементів (компонент), допустимо позначити наступними способами:

Для того, щоб підкреслити, що це вектор (а не скаляр), використовують рису зверху, зверху стрілочку, жирний або готичний шрифт:

Додавання векторів майже завжди позначається знаком плюс:

Множення на число - просто написанням поруч, без спеціального знака, наприклад:

причому число у своїй зазвичай пишуть зліва.

Множення на матрицю також позначають написанням поруч, без спеціального знака, але тут перестановка співмножників у випадку впливає результат. Дія лінійного оператора на вектор також позначається написанням оператора зліва без спеціального знака.

Довжина (модуль) вектора — скаляр, що дорівнює арифметичному квадратному кореню із суми квадратів координат (компонент) вектора. Позначається або простоa.

3. Пов'язані визначення

  • Вектор, початок якого збігається з його кінцем, називаютьнульовим:
  • Вектор називаютьпротилежнимвектору.
  • Довжиною вектора, абомодулемвектора, називають довжину відповідного спрямованого відрізка: .

4. Властивості

Часто замість цього терміна вживають термін "перпендикулярність", проте слід враховувати, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору, але поняття перпендекулярності для нього не визначено, оскільки не визначено кут між нульовим та іншим вектором.

Приклад: Дані два вектори та . Ці вектори будуть ортогональними, якщо виразx1x2 +y1y2 = 0 .

Колінеарність Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.

Часто замість цього терміна вживають термін "паралельність", проте слід враховувати, що нульовий вектор колінеарен будь-якому вектору, але поняття паралельності для нього не визначено, оскільки не визначений кут між нульовим та іншим вектором.

5. Лінійні операції над векторами

5.1. Складання векторів

Складання двох вільних векторівможна здійснювати як за правилом паралелограма, так і за правилом трикутника.

Правило трикутника. Для складання двох векторів і за правилом трикутника обидва ці вектори переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого вектора.

Правило паралелограма. Для складання двох векторів і за правилом паралелограма обидва ці вектори переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, що виходить із їхнього загального початку.

А модуль (довжину) вектора суми визначають за теоремою косінусів де кут між векторами, коли початок одного збігається з кінцем іншого. Так само використовується формула тепер - кут між векторами, що виходять з однієї точки.

Складання двох ковзних векторіввизначено лише у випадку, коли прямі, на яких вони розташовані, перетинаються. Тоді кожен з векторів переноситься вздовж своєї прямої точкиперетину цих прямих, після чого додавання здійснюється за правилом паралелограма.

Складання двох фіксованих векторіввизначено лише у разі, коли вони мають загальний початок. Їхнє складання в цьому випадку здійснюється за правилом паралелограма.

5.1.1. Складання колінеарних ковзаючих векторів

Якщо ковзаючі вектори паралельні, то за їх складання головна складність полягає у визначенні прямий, де буде розташована їх сума. (Величину і напрям вектора суми було б природно визначити точно так, як і у разі складання вільних векторів.) У механіці при вивченні статики для вирішення питання про складання паралельних сил, які, як відомо, задаються ковзними векторами, вводиться додаткова гіпотеза: до системі векторів можна додати два вектори, рівних за величиною, протилежних за напрямом та розташованих на одній прямій, що перетинає прямі, на яких розташовані дані вектора. Нехай, наприклад, треба скласти ковзаючі вектори і розташовані на паралельних прямих. Додамо до них вектори і розташовані на одній прямій. Прямі, на яких розташовані вектори та , і перетинаються. Тому визначено вектори

Прямі, на яких розташовані вектори і , перетинаються завжди, за винятком випадку, коли вектори і рівні за величиною і протилежні у напрямку, в якому кажуть, що вектори і утворюютьпару(векторів).

Таким чином, під сумою векторів можна розуміти суму векторів і , і ця сума векторів визначена коректно у всіх випадках, коли вектори і не утворюють пару.

5.2. Добуток вектора на число

Добутком вектора та числа λ називається вектор, що позначається (або ), модуль якого дорівнює , а напрямок збігається з напрямком вектора , якщо0 \," src="http://wreferat.baza-referat.ru/3_885681056-323.wpic" />, і протилежно йому, якщо . Якщо ж , або вектор нульовий, тоді і тільки тоді твір - нульовий вектор .

  • Зазвичай прийнято в записі твори числа і вектора число записувати зліва, але в принципі припустимо і зворотний порядок, хоча все ж таки звичайна угода полягає в тому, щоб її уникати, якщо немає прямої необхідності. Так чи інакше, .

З визначення твору вектора на число легко вивести такі властивості:

  1. якщо то . Навпаки, якщо , то за деякого λ вірна рівність ;
  2. завжди °, тобто кожен вектор дорівнює добутку його модуля на орт.

5.3. Скалярний добуток

Скалярним твором векторів називають число, рівне , де — кут між векторами і . Позначення: або .

Якщо один із векторів є нульовим, то незважаючи на те, що кут не визначений, добуток дорівнює нулю.

Властивості скалярного твору векторів:

  1. - Комутативність.
  2. - Дистрибутивність.
  3. - Лінійність по відношенню до множення на число.
  4. - Норма вектора (Квадрат вектора).

Геометрично скалярний добуток є добутком довжини одного з співмножників на ортогональну проекцію іншого на напрямок першого (або навпаки). Скалярний добуток якогось вектора з одиничним вектором є ортогональна проекція вектора на напрямок одиничного вектора.

5.4. Векторний витвір

Векторним творомвектораaна векторbназивається векторc, який задовольняє наступним вимогам:

  • довжина вектораcдорівнює добутку довжин векторівaіbна синус кута φ між ними

  • векторcортогональний кожному з векторівaіb
  • векторcспрямований так, що трійка векторівabcє правою.

Геометрично векторний твір є орієнтованаплощапаралелограма, побудованого на векторах , представлена ​​псевдовектором, ортогональним цьому паралелограму.

Властивості векторного твору:

  1. При перестановці співмножників векторне твір змінює знак (антикоммутативність), тобто
  2. Векторний твір має поєднану властивість щодо скалярного множника, тобто
  3. Векторний твір має розподільну властивість:

5.5. Змішаний твір

Змішане творіннявекторів — скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і :

(Рівність записано для різних позначень скалярного та векторного твору).

Іноді змішаний твір називаютьпотрійним скалярним творомвекторів, мабуть через те, що результатом є скаляр (точніше - псевдоскаляр).

Геометрично змішаний твір є (орієнтований)об'ємпаралелепіпеда, побудованого на векторах.