Великі математики давнини Піфагор Євдокс Архімед
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ РЕСПУБЛІКИ БІЛОРУСЬ
Заклад освіти
«Брестський державний університет імені О.С. Пушкіна»
Великі математики старовини: Піфагор, Євдокс, Архімед
Петрусевич Микола Миколайович
Брест 2010
Евдокс Кнідський (бл.408-355 рр. до н.е.)
Про життя Євдокса відомо небагато. Народився у Книді, на південному заході Малої Азії.
Навчався медицині, потім математики (у піфагорійця Архіта в Італії), потім приєднався до школи Платона в Афінах. Близько року провів у Єгипті, вивчав астрономію у Геліополі. Пізніше Євдокс переселився до міста Кизик на Мармуровому морі, заснував там власну математико-астрономічну школу, читав лекції з філософії, астрономії та метеорології.
Євдокс Кнідський відомий насамперед як математик і астроном, але він також писав книги з філософії, географії, музики та медицини. Про життя Євдокса відомо таке. У молодості він вивчав математику у Архіта в Таренті та медицину у Філістіона в Сицилії. 23-х років він прибув до Афін і, дуже бідний, оселився в гавані Пірея, звідки щодня ходив пішки до платонівської Академії і назад. Пізніше за сприяння друзів, він здійснив подорож до Єгипту, де набирався астрономічних знань у жерців Геліопля. Повернувшись до Греції, він заснував свою школу в Кізіці (на березі Мармурового моря).
За своїми філософськими поглядами Евдокс у низці питань примикав до Платона. Він визнавав теорію ідей, але на відміну від Платона вважав, що ідеї якось "примішуються" до предметів, що чуттєво сприймаються. Евдокс, безперечно, був великим математиком. Розвиваючи досягнення Архіта і Теетета у сфері теорії пропорцій, він побудував загальну теоріювідносин, засновану на нове визначення величини. Якщо раніше теореми теорії відносин доводилося доводити окремо для чисел, відрізків і площ, то поняття величини, введене Евдоксом, включало як числа, і будь-які безперервні величини. Іншим найважливішим внеском Евдокса в математику була розробка так званого " методу вичерпування " , який заклав основи теорії меж і підготував ґрунт подальшого розвитку математичного аналізу. Для історії астрономії значення Евдокса було, мабуть, ще значнішим. Фактично його вважатимуться творцем античної теоретичної астрономії як самостійної науки. Евдокс був як теоретиком, а й першокласним астрономом-наблюдателем. За своєї школи у Кізіці він організував першу грецьку обсерваторію, де його учні вели систематичні спостереження за небесними світилами. Він дав детальний опис сузір'їв, видимих на широті Греції, склав каталог зірок. Здобувши широку популярність, Євдокс ще раз побував в Афінах, де розмовляв із Платоном на філософські теми. Помер він 53-х років зроду на своїй батьківщині, Книді.
Загальна теорія відносин
Числові системи древніх греків обмежувалися натуральними числами та його відносинами (дрібницями, раціональними числами). Однак ще піфагорійці виявили, що діагональ квадрата непорівнянна з його стороною, тобто відношення їх довжин не може бути представлене раціональним числом. Стало зрозуміло, що піфагорійська арифметика має бути якимось чином розширена для того, щоб включати всі результати вимірювань. Це й зробив Євдокс. Його теорія дійшла до нас у викладі Евкліда (Початок, книга V).
На додаток до числа Евдокс ввів ширше поняття геометричної величини, тобто довжини відрізка, площі або об'єму. ЗСучасної точки зору, число при такому підході є відношення двох однорідних величин - наприклад, досліджуваної та одиничного еталона. Цей підхід знімає проблему несумірності. Фактично, теорія відносин Евдокса — це геометрична модель дійсних чисел. Слід, проте, наголосити, що Евдокс залишився вірним колишньої традиції — не розглядав таке ставлення як число; через це в «Початках» багато теорем про властивості чисел потім наново доводяться для величин. Визнання ірраціональностей як особливого виду чисел відбулося набагато пізніше, під впливом індійських та ісламських математичних шкіл.
На початку своєї побудови Евдокс дав аксіоматику порівняння величин. Всі однорідні величини можна порівняти між собою, і для них визначено дві операції: відділення частини та з'єднання (взяття кратного). Однорідність величин сформульована у вигляді аксіоми, відомої також як аксіома Архімеда: "Кажуть, що величини мають відношення між собою, якщо вони, взяті кратно, можуть перевершити один одного".
Далі Евдокс розглядає відносини між величинами і визначає їм рівність: відносини a:b і c:d рівні, якщо будь-яких натуральних m, n виконується одне з трьох співвідношень:
або ma nb та mc > nd.
У сучасному формулюванні це означає, що між a:b і c:d не можна вставити раціональне число.
Далі Евдокс акуратно виводить властивості відносин: транзитивність, упорядкованість тощо.
Класична теорія Дедекінда для побудови дійсних чисел напрочуд схожа на виклад Евдокса. Відповідність з-поміж них встановлюється так: нехай задані дві величини Евдокса a, b; дріб m/n віднесемо до класу A, якщо ma > nb, інакше - до класу B. Тоді класи A і B визначають дедекіндовий переріз поля раціональних чисел Q.Залишилося ототожнити ставлення по Евдоксу b:a із цим дедекіндовим числом.
Зазначимо, однак, що у Евдокса відсутня аналог аксіоми безперервності, і нізвідки не випливає, що будь-який переріз Q визначає дійсне число.
Це свого роду античний аналіз криволінійних постатей. Обгрунтування цього не спирається на актуальні нескінченно малі, але неявно включає поняття межі. Назва «метод вичерпування» запропонував у 1647 році Грегуар де Сен-Венсан (фр.Grégoire de Saint-Vincent, 1584-1667), в античні часи у методу не було спеціальної назви. Метод полягав у наступному: для знаходження площі (або обсягу) деякої фігури в цю фігуру вписувалася монотонна послідовність інших фігур і доводилося, що їх площі (обсяги) необмежено наближаються до площі (обсягу) шуканої фігури. Потім обчислювався межа послідовності площ (обсягів), навіщо висувалася гіпотеза, що він дорівнює деякому A і доводилося, що протилежне призводить до суперечності. Оскільки загальної теорії меж був (греки уникали поняття нескінченності), всі ці кроки, включаючи обгрунтування єдиності межі, повторювалися кожної задачі. У такій формі метод вичерпування добре вписувався у строго дедуктивну побудову античної математики, проте мав кілька суттєвих недоліків. По-перше, він був винятково громіздким. По-друге, не було жодного загального методу для обчислення граничного значення A; Архімед, наприклад, нерідко виводив його з механічних міркувань чи інтуїтивно вгадував. Зрештою, цей метод не придатний для знаходження площ нескінченних фігур. За допомогою методу вичерпування Евдокс суворо довів ряд вже відомих у роки відкриттів (площа кола, обсяг піраміди і конуса).
Найбільш плідним цей методстав у руках видатного послідовника Евдокса, Архімеда, який зміг його значно вдосконалити та віртуозно застосовував для багатьох нових відкриттів. У середні віки європейські математики також застосовували метод вичерпування, доки він не був витіснений спочатку потужнішим і технологічнішим методом неподільних, а згодом — математичним аналізом.
Піфагор Самоський (бл. 580 - бл. 500 до н.е.)
Піфагор Самоський (бл. 580 - бл. 500 до н. е.) давньогрецький математик та філософ-ідеаліст.
Батьками Піфагора були Мнесарх та Партеніда з Самоса. Мнесарх був каменерізом (Діоген Лаертський); за словами ж Порфирія він був багатим купцем з Тиру, який отримав самоське громадянство за роздачу хліба в неврожайний рік. Перша версія краще, оскільки Павсаній наводить генеалогію Піфагора по чоловічій лінії від Гіппаса з пелопоннесського Фліунта, який утік на Самос і став прадідом Піфагора.[2] Партеніда, пізніше перейменована чоловіком на Піфаїду, походила зі знатного роду Анкея, засновника грецької колонії на Самосі.
Народження дитини нібито передбачила Піфія в Дельфах, тому Піфагор і отримав своє ім'я, яке означає «той, про кого оголосила Піфія». Зокрема, Піфія повідомила Менісарху, що Піфагор принесе стільки користі та добра людям, скільки не приносив і не принесе у майбутньому ніхто інший. Тому на радощах Мнесарх дав дружині нове ім'я Піфаїда і дав ім'я дитині Піфагор. Піфаїда супроводжувала чоловіка в його поїздках, і Піфагор народився в Сідоні Фінікійському (за Ямвліхом) приблизно в 570 до н. е.
У юному віці Піфагор вирушив до Єгипту, щоб набратися мудрості та таємних знань у єгипетських жерців. Діоген і Порфирій пишуть, що самоський тиран Полікрат забезпечив Піфагора рекомендаційним листом до фараона Амасіса, завдяки чому його допустили донавчання і посвячений в обряди, заборонені для інших чужинців.
Ямвліх пише, що Піфагор у 18-річному віці залишив рідний острів і, об'їхавши мудреців у різних краях світу, дістався Єгипту, де пробув 22 роки, поки його не ввів у Вавилон у числі бранців перський цар Камбіз, який завоював Єгипет у 525 . е. У Вавилоні Піфагор пробув ще 12 років, спілкуючись з магами, поки, нарешті, не зміг повернутися на Самос у 56-річному віці, де співвітчизники визнали його мудрою людиною.