Визначений інтеграл

Настав час познайомитися з найпотужнішим засобом дослідження в математиці, фізиці, механіці та інших точних дисциплінах. Цей засіб – певний інтеграл. У середній школі певний інтеграл застосовують при обчисленнях площ криволінійних трапецій, обсягів тіл обертання, знаходженні моментів інерції тощо.

Що таке певний інтеграл? Чим він відрізняється від невизначеного, з яким ми вже досить знайомі.

a і b - це межі, в яких змінюється змінна інтегрування х.

Невизначений інтеграл графічно є сімейством кривих, що поєднуються паралельним переносом (11.1.9).

Певний інтеграл (див. малюнок зліва) являє собою криволінійну трапецію, обмежену зверху графіком функціїy=f(x), знизу - віссюОх, а зліва і справа прямимиx= a та х= b .

Значення певного інтегралу є площаS цієї криволінійної трапеції:

Розглянемо приклади обчислення певного інтеграла.

Приклад 1.

Знайдемо первісну F(x) для підінтегральної функції f(x)=3x²-2x+1, а потім застосуємо формулу Ньютона-Лейбніца (ф. Н-Л).

Приклад 2.

Виникає питання: якщо певний інтеграл виражає собою площу криволінійної трапеції, то чи не можна побачити цю криволінійну трапецію? А можна! Проілюструємо приклад 2.

виражає площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції y=(x+1) 4 , віссю Ох і прямими: х=0 (віссю Оy) та х=1.

Графік функції y=(x+1) 4 - парабола, гілки якої спрямовані вгору,

---