Визначення моментів інерції різних тіл

Методом крутильних коливань

Мета роботи: Визначення моментів інерції різних тіл за допомогою крутильного маятника (трифілярного підвісу), перевірка теореми Штейнера-Гюйгенса.

Прилади та матеріали: Трифілярний підвіс, Установка ELWRO набір тіл, ваги, секундомір, штангенциркуль.

Період коливання крутильного маятника залежить від моменту інерції та визначається формулою

деТ- період коливання маятника,D- коефіцієнт, що залежить від параметрів установки,J- момент інерції тіло щодо осі, що проходить через центр мас. У формулу входить невідома константа установкиD, яку необхідно виключити. Це робиться у різний спосіб:

1. На підвіс маятника кладуть тіло з відомим моментом інерціїJ0 і визначає період коливання отриманого маятникаT0. Потім це тіло знімають і поміщають тіло з невідомим моментом інерції J x. Знову визначають період коливанняТx. Невідомий момент знаходиться за формулою

2. Визначають період коливань із тілом із відомим моментом інерції. Потім, не знімаючи з підвісу еталонного тіла, кладуть тіло, який треба виміряти. Центри тяжкості обох тіл повинні лежати на осі коливанні маятника. Тепер період коливань

Звідки

Визначення моменту інерції за допомогою трифілярного підвісу

Що складається з диска, масоюmі радіусаR, підвішеного на трьох симетричних нитках. Другими кінцями ці нитки менші за радіус r . При повороті одного з дисків на невеликий кут j0 навколо вертикальної осі всі три нитки приймають похило положення, а центр ваги системи злегка піднімається вздовж осі обертання. Нижній диск почне здійснювати крутильні коливання, період яких залежить відмоменту інерції та маси системи.

У будь-який момент часу координати верхнього кінця нитки можна визначити якr1 01 0

Координати нижнього кінця нитки визначається як

Координата z змінюється в межах

Це дає зміну потенційної енергії

і відповідно кінетичної енергії коливань

А повна енергія

l– довжина нитки підвісу, що дорівнює відстані між дисками.

Вимірювання

1. Вимірювання моменту інерції циліндра

1. Обережно повернути нижній диск трифілярного підвісу, щоб не виникало поперечних коливань, виміряти період обертальних коливань диска. Для цього, увімкнувши секундомір у момент проходження однієї з ниток підвісу повз ризики на стійці приладу, відрахувати 30 періодів коливань і вимкнути секундомір. Повторити вимір 3 рази. Вимірявшиr, Rтаlобчислити момент інерції ненавантаженого диска. Маса диска 270 г.

Результати звести до таблиці.

DJg

Jg+ц

Jц

D Jц

2. Покласти на платформу трифілярного підвісу один із дисків. Повторить вимірювання п. 1 і визначити момент інерції диска.

3. Виміряти момент інерції другого диска.

4. Виміряти момент інерції двох дисків. Порівняти отриманий результат із очікуваною сумою моментів.

Усі результати занести до таблиці.

Перевірка теореми Штейнера

5. Покласти на платформу обидва диски так, щоб вони лежали на одному діаметрі та на однаковій відстані від центру платформи. Виміряти відстань центрів мас дисків від центру платформи. При цьому вважати, що центр мас дисківзнаходиться на межі вирізу в його закругленій частині. Повторити вимірювання п.I та визначити сумарний момент інерції обох дисків. Результати звести до таблиці.

Порівняти отримані результати з теоремою Штейнера.

Тензор інерції

Момент інерції за однієї і тієї ж масі виявляється різним залежно від геометрії тіла та положення осі обертання. Нехай вісь обертання утворює з осями координат кути a, b, g. Тоді момент інерції точки щодо цієї осі

Вимірювання.

Вимірювання проводяться на установці ELWRO з автоматичним рахунком кількості коливань та часу.

1. Включити установку з мережі та прогріти її протягом 5-10 хвилин. Натиснути кнопку "пуск". Після цього установка готова до роботи. Визначити момент інерції рамки. Для цього відхилити рамку на невеликий кут, відпустити та натиснути кнопку «скидання». Відлік числа коливань починається автоматично. З появою у вікні рахунки коливань числа 19 натиснути кнопку «стоп». Відлік часу та числа коливань автоматично зупиняється після відліку часу та числа коливань. Визначити період коливань рамки Т0. Повторити виміри 5 разів і знайти середнє Т0.

Для визначення моменту інерції потрібно знати коефіцієнт пружності дроту. Його, проте можна виключати, використовуючи тіло з моментом інерції, що легко обчислюється, наприклад, циліндр або диск. Період коливань

Тоді для рамки без додаткового тіла

а для рамки з циліндром або паралелепіпедом

Встановити у рамку циліндр. Для цього, вставивши циліндр у рамку, обережно двома пальцями стиснути рамку так, щоб кулачки рамки увійшли в отвір на поверхні циліндра, після чого затягнути стопорні гвинти на рамці і затиснути верхній кулачок.

Встановити циліндр у рамку вертикально та вимірятиперіод коливань. Повторити вимірювання 5 разів та знайти середнє значення.

Встановити циліндр у рамці горизонтально та знову визначити період коливань. Повторити вимірювання 5 разів та знайти середнє значення.

Встановити у рамці диск та виміряти період коливань із диском. Повторити вимірювання 5 разів та знайти середнє значення.

Виміряти розміри циліндра та диска та обчисливши моменти інерції визначити момент інерції рамки. Результати звести до таблиці.

Ціл. верт.

Ціл. гір.

Диск

JГ

JД

ТБ

ТГ

ТД

2. Встановити у рамці один із паралелепіпедів. Виміряти період коливань рамки з паралелепіпедом та визначити момент інерції паралелепіпеда. Вимірювання повторити для наступних положень паралелепіпеда:

1. Закріпити паралелепіпед в отворах, що знаходяться в центрі малих граней паралелепіпеда (щодо осіz).

2. Закріпивши паралелепіпед в отворах у центрі великих граней моменти (щодо осейхіу).

3. Закріпивши паралелепіпед в отворах, що проходять через середину великого ребра (момент інерціїJху).

4. Закріпивши паралелепіпед в отворах, що проходять через протилежні кути паралелепіпеда (велика діагональ).

5. Закріпивши паралелепіпед в отворах, що проходять через середини протилежних коротких ребер (мала діагональ).

Усі виміри повторити 5 разів. Визначити середнє значення періодів коливань та моменти інерції кожного положення.

Результати звести до таблиці.

Jх

Jу

Jхyz

Jхy

Jzx

3. Вимірятидовжину ребер паралелепіпеда. Розрахувати напрямні косинуси діагоналей. Побудувати тензор інерції та порівняти отримані значення моментів інерції з виміряними.

Контрольні питання

1. Що називається моментом інерції? Яку роль він відіграє в описі руху тіл?

2. У чому відмінність крутильних коливань від коливань фізичного маятника?

3. Що таке тензор? Як розрахувати момент інерції тіла щодо довільної осі, яка проходить через центр ваги?

4. Сформулювати теорему Штейнера. Як визначається момент інерції тіла щодо осі?

5. Що таке момент сили?

6. Написати основні формули обертального руху.

7. Чому натяг ниток трифілярного підвісу має бути однаковим?

8. Під дією якої сили трифілярний підвіс здійснює крутильні коливання?

9. Як виражається модуль кручення дроту круглого перерізу через розміри дроту та модуль зсуву матеріалу, з якого виготовлений дріт?

10. Чи можна визначити момент інерції тіла неправильної форми та як це можна зробити?

11. Сформулюйте основний закон динаміки обертального руху твердого тіла.

Лабораторна робота №13