ЗАДАЧА ПРО ГРАВЦЯ, ЯКОГО НЕ МОЖНА ВИГНАТИ З КАЗИНО, Твоя мама просто про фінанси

Завдання про блукання п'яниці біля бару — завдання смішне та зручне для ілюстрації такої важливої математичної абстракції як випадкове блукання точки прямою. Але з давніх-давен рух п'яних хвилювало людей менше, ніж рух капіталів. Саме фінансові завдання були історично одними з перших теорії ймовірностей. Наприклад, ще в 1650-х роках знамениті вчені Блез Паскаль і Християн Гюйгенс почали досліджувати так зване завдання про руйнування гравців. Вона має багато різних формулювань, але ми зосередимося на одному з них — особливо парадоксальному.

Гравець купує у казино M фішок, кожна з яких коштує долар (гроші, заплачені за фішки – його плата за участь у грі). Раз на хвилину круп'я кидає монету. Коли вона падає рішкою, він забирає одну з фішок гравця. Коли орлом – дає гравцю додаткову фішку. Число фішок у казино не обмежене, тому розоритися казино не може. Зате гравець може. Гра йде до тих пір, поки гравець не витратить усі фішки. Таким чином, виграти гроші не може. Це гра "в одні ворота". Але поки вона йде, гравець має право безкоштовно пити, їсти, спілкуватися з іншими гравцями і якось інакше розважатися за рахунок казино (йому не обов'язково бути поруч із круп'є, який все робить чесно).

Поставимо чотири запитання.

Яка ймовірність руйнування гравця після N ходів?
Яким буде медіанний час гри?
Яким буде середній час гри?
Чи варто на практиці грати в таку гру і за якусь "вхідну плату"?

Це завдання майже збігається з минулим завданням про пияків. Один кидок монети аналогічний одному кроці. Збільшення або зменшення числа фішок аналогічно руху взад і вперед. А руйнування аналогічне до повернення в бар. Тому ймовірністьруйнування гравця падає зі зростанням N за таким же статечним законом, як і ймовірність повернення п'яниці. Тут теж будуть партії, що аномально затягнулися (польоти Леві), через які середній час руйнування гравця нескінченно. Єдина відмінність полягає в тому, що гравець стартує не з нуля фішок, а з M. Тому медіанний час гри тепер інший: він приблизно пропорційний M у квадраті.

Що це означає на практиці?

10000 жебраків руйнують казино

Спочатку розглянемо найпростіший випадок: M=1. У казино заходить жебрак із 1 доларом. Тепер завдання максимально близьке до завдання про пияків. Медіанний час становитиме лише 1 хід (з ймовірністю ½ на першому ж ході гравець отримає рішку). Але середній очікуваний час гри, згідно з формулами, дорівнює нескінченності. Чим це загрожує казино?

Якщо в казино прийде не один і не два жебраки, а 100, 1000 і більше, то приблизно половина з них "відсікуться" на першому ходу, але серед тих, що залишилися, знайдуться "удачливі", які становлять для казино чималу загрозу. Подібно до того, як раніше серед п'яниць виявлявся якийсь відсоток “авантюристів”, які надовго уникали бару, так і тепер серед гравців є якийсь відсоток “удачливих”, гра яких може затягтися на добу, місяці та роки (довгі польоти Леві).

Число "удачливих" буде приблизно таким самим, як і число "авантюристів" у завданні про п'яниць. Достатньо поглянути на графіки. Зі збільшенням N частка гравців, що залишилися в казино, обернено пропорційна кореню з N. Кожен десятий гравець залишається в грі приблизно до сотого ходу, кожен сотий — до десятитисячного, а кожен тисячний — до мільйонного!

Це означає, що якщо в казино прийде 1000 жебраків із 1 доларом, то з них 1-2 особи "поселяться" у казино на кілька років! А якщо прийде 10 000 жебраків, то серед нихможе знайтись людина, яка отримає право на сотні років безкоштовних розваг! І це при тому, що для більшості інших учасників гра, як і раніше, триватиме близько хвилини.

Це завдання наочно показує, наскільки обережно треба поводитися організаторам азартних ігор. Далеко не завжди прибутки та збитки можна оцінити "на око". Якщо завдання про блукання п'яниць було жартівливим, то в казино справді можна реалізувати гру за такими правилами, без відхилень від математичної моделі. І ніби дрібниця, в якій всі козирі на боці казино, може легко розорити його.

Один гравець з 10 000 доларів руйнує казино

При M>1 ситуація для казино може виявитися ще гіршою: тепер гравцям навіть не буде потрібно великої кількості партій.

Медіанний час гри дорівнює M у квадраті. Тобто воно залежить від початкового капіталу гравця так само, як і час гри найщасливішого жебрака - від числа жебраків (і їхнього сумарного капіталу). І це не просто збіг, тут є глибинний зв'язок, про який ми поговоримо нижче. Але спочатку оцінимо прогнози для гри за різних M.

Якщо в казино прийдуть двоє друзів і кожен поставить по 10 доларів, то хоча б один з них, швидше за все, "погуляє" за рахунок казино понад півтори години (медіанний час гри - 100 хвилин). А якщо поставлять по 100 доларів — то обидва з високою ймовірністю зможуть цілодобово розважатися приблизно місяць. 10000 доларів буде достатньо, щоб "поселитися" казино на сотні років (!).

Стартовий капітал має значення

Неважко зрозуміти, чому результати "удачливих" жебраків такі схожі на результати людей, які спочатку прийшли з грошима. "Удачливі" - це ті, кому на якомусь етапі гри вдалося завдяки випадковим орлам "збити" капітал, який унадалі важко розорити. Що людина піднявся на випадкових орлах, тим важче його “спустити назад землю”. Непропорційно складніше.

Згадаймо, що завдання про п'яницях середнє відхилення траєкторії від початкового становища пропорційно кореню з її тривалості. П'яниця, який зробив 100 кроків, швидше за все, знаходиться десь за 10 кроків від бару. А той, хто зробив 10000 кроків, — у 100 кроках. Правильно й зворотне: якщо п'яниця знаходиться за 10 кроків від бару, то, щоб повернуться до бару, йому знадобиться близько 100 кроків (таким буде медіанний час повернення). А якщо знаходиться за 100 кроків — то 10000 кроків. Аналогічно, якщо в ході гри жебраку пощастило "зловити" на 9 орлів більше, ніж решок (і отримати 10 фішок), то його подальша гра не відрізнятиметься від гри того, хто одразу купив 10 фішок. Для обох медіанний час гри становитиме 100 хвилин. А той, хто випадково взяв 100 фішок, далі гратиме близько 10000 хвилин.

Цей висновок з теорії ігор має далекосяжні наслідки. Він пояснює економічну нерівність у людському суспільстві і говорить, наскільки важливим є “запас міцності” компаніям. Компанія або окремий багатій, які одного разу збили великий капітал, часто можуть зберігати його століттями, тоді як дрібні стартапи з'являються і зникають з величезною швидкістю. І ці міркування безпосередньо стосуються динаміки котирувань акцій, про яку ми розповімо в наступній частині.