§ 1. Векторний простір r n
Простір r n та його підпростору.
Нехайn- деяке натуральне число. Розглянемо безліч
x 1,x2, … ,xn)> всіляких упорядкованих наборів з n дійсних чисел. Введемо на цій множині операції складання елементів множини та множення їх на речові числа.
Безліч різноманітних упорядкованих наборів зnдійсних чисел із введеними на ньому операціями складання та множення на число називаєтьсявекторним просторомRn. Елементи x = (x1,x2 , … ,xn) цього простору називаютьсяn-мірними векторами, а самі числа
x1,x2 , … ,xn-компонентами, абокоординатами> Вектораx. Нульовим вектором0 та вектором –x, протилежним векторуx називаються вектори
Очевидно, що введені операції задовольняють наступним умовам:
x + (y +z ) = (x +y ) +z ,
Приватними випадками просторуRnприn= 2 іn= 3 є множиниR2 іR3 двовимірних та тривимірних векторів площини або простору відповідно.
ПідпросторомпросторуRnназивається його підмножинаL, що задовольняє двом умовам, які називаються умовами лінійності:
Приклади підпросторів: ,Rn. У просторіR2 підпростором є також безліч радіус-векторів точок, що лежать на прямій, що проходить через початок координат, уR3 - безліч радіус-векторів точок, що лежать на прямій або на площині , що проходить через початок координат.
Два ненульові векториaіbназиваютьсяпропорційними, якщоіснує таке речове число , що a= b.
У цьому випадку кажуть, що векторbлінійно виражається через вектори
Сукупність різних лінійних комбінацій векторів
Наприклад, у просторіR3L(a) — пряма, яка проходить через початок координат; якщоaіbнеколінеарні, тоL(a,b) — площина, проходить через початок координат.
РозглянемоRnвектори
Нехай тепер x Rn. Тоді
Лінійна оболонка системи векторів просторуRnє підпростором просторуRn.
Якщо підпростірLпросторуRnє лінійною оболонкою векторівa1,a2, , ak, то кажуть, що система векторівa1,a2, ,akпороджуєпідпростірL.