18.2. Двовимірні системи.
Системи здійснюють перетворення сигналів. Формалізована система - це оператор (операція) відображення вхідного сигналу на вихідний: z (x, y) = Т [s (x, y)].
Базовими операціямиу системах, комбінаціями яких здійснюються перетворення, є операції скалярного множення, зсуву та додавання:
Використовуючи базові операції, будь-яку двовимірну послідовність можна розкласти на суму зважених двовимірних одиничних імпульсів:
s(n,m) =
Узагальненням скалярного множення є просторове маскування:
Права частина рівності (18.2.2) є поелементним твіром вхідного сигналу на сукупність чисел сn,m.
Крім лінійних операцій у системах використовуються також безінерційні нелінійні перетворення з незалежною нелінійною дією на значення відліків вхідної послідовності. Приклад операції - зведення у квадрат:
Лінійні системи.Система вважається лінійною при виконанні двох умов:
1. Пропорційна зміна вхідного сигналу викликає пропорційну зміну вихідного сигналу.
2. Сумарний сигнал двох вхідних послідовностей дає сумарний сигнал двох відповідних вихідних послідовностей.
Інакше кажучи, якщо оператор Т[s(x,y)] визначає лінійну систему і має місце z(x,y) = Т[s(x,y)], q(x,y) = Т[u(x, y)], то Т [as (x, y) + bu (x, y)] = az (x, y) + bq (x, y). Лінійні системи підпорядковуються принципу суперпозиції сигналів.
У виразі (18.2.1) значення s(i,j) можна як скалярні множники для відповідних одиничних імпульсів. Застосовуючи оператор перетворення Т[.] до лівої та правої частини (18.2.1), отримуємо:
Т[s(n,m)] = у(n,m) =
z(n,m) =
де hij(n,m) - відгук системи у точці (n,m) на одиничний імпульс у точці (i,j). Якщо імпульсний відгук hij(n,m) визначено всім точок (i,j), то відгук системи на довільний багатовимірний сигнал, як й у одновимірних систем, перебуває з допомогою суперпозиції.
Інваріантність до зсуву.Система інваріантна до зсуву, якщо зсув вхідної послідовності призводить до такого ж зсуву вихідної послідовності:
Лінійність та інваріантність до зсуву є незалежними властивостями системи. Так, просторове маскування лінійно, але інваріантно до зсуву, а безінерційні оператори нелінійні, але інваріантні до зсуву.
Надалі обмежимося розглядом лише систем, поширених під час вирішення практичних завдань - лінійних та інваріантних до зрушення (ЛИС-системы).
Імпульсний відгукна довільно розташований вхідний імпульс, як випливає з виразу (18.2.3), описується виразом:
Для окремого випадку i = j = 0 маємо:
Використовуючи принцип інваріантності до зсуву, отримаємо:
тобто. імпульсний відгук на довільно розташований вхідний імпульс дорівнює зрушеному імпульсному відгуку на вхідний імпульс, розташований на початку координат.
Двовимірна згортка.Підставляючи (18.2.4) у вираз (18.2.3), отримуємо:
Двовимірна дискретна згортка (18.2.5), є аналогом одновимірної дискретної згортки. При заміні змінних n-i = k, m-j = l, отримаємо:
тобто. двовимірна згортка комутативна, як і одновимірна. У такій же мірі вона має властивість асоціативності по відношенню до послідовності операцій згортки кількох функцій (результат не залежить від порядку згортки) та властивістюдистрибутивності по відношенню до операції згортки із сумою функцій (результат аналогічний сумі згорток із кожною функцією). Ці властивості визначають і основну властивість двовимірних (і багатовимірних) лінійних систем при їх паралельному та/або послідовному з'єднанні – результуюча система також є лінійною.
Для спрощення символьного апарата двовимірну згортку позначають індексом (**):
При узагальненні цього висловлювання на багатовимірні системи у векторній формі:
z(
Роздільні системи.Якщо імпульсний відгук системи може бути розділений:
той вираз (18.2.5') набуває вигляду:
Масив g(n,m) обчислюється одномірною згорткою стовпців масиву s(n,m) при n = const (перетину масиву за координатами n) з відгуком h(l), з наступним обчисленням вихідного масиву z(n,m) одновимірним згортком рядків g(n,m) при m = const із відгуком h(k). Результат не зміниться, якщо спочатку виконувати згортку рядками, а потім стовпцями. Система з відгуком виду (18.2.6) називається роздільною. Зазначимо, що у розділюваної системі вхідний і вихідний сигнал нічого не винні бути роздільними.
Аналогічні системи можна існувати і в багатовимірному варіанті.