3. СПОСІБ ДОКАЗУ (ДЕМОНСТРАЦІЯ)
3. СПОСІБ ДОВІДКИ (ДЕМОНСТРАЦІЯ)
Ми розглянули дві складові частини доказу: тезу, що доводиться, і підстави доказу. Ми бачили, що головне завдання доказу — зробити незаперечним або істинність доказуваного або помилковість спростовуваного. Ми бачили також, що істинність доказуваного або помилковість тези, що спростовується, не можуть бути виявлені безпосередньо. Щоб переконатися в істинності тези, що доводиться, слід вказати істинну підставу, визнавши яку істинною, ми з необхідністю повинні визнати істинною також і тезу, що доводиться.
Однак, хоча вказівка істинних підстав для з'ясування істинності тези, що доводиться, необхідна, але одним лише цим ми ще не досягаємо мети доказу. Тільки в деяких випадках вказівка істинних підстав дає істинність тези, що доводиться відразу, у вигляді безпосереднього висновку. Так, якщо потрібно довести, що деякі з рівних між собою кутів — прямі кути, то для доказу істинності цього твердження достатньо послатися, як на основу, на істину про те, що всі прямі кути рівні між собою. З цієї підстави відразу, безпосередньо, за законами однієї лише логіки (а саме згідно правил звернення) виходить справжній висновок, що деякі з рівних між собою кутів — прямі.
Але у більшості випадків знання істинних підстав, що ведуть до визнання істинності тези, недостатньо. Потрібно також показати, який зв'язок, потрібно провідна від істинності цих підстав до істинності обумовленого ними тези. Зв'язок цей у багатьох випадках безпосередньо не видно і вимагає з'ясування. Так, якщо учень знає всі визначення, всі аксіоми та всі теореми, з істинності яких, як із підстав, виводиться істинність теореми Піфагора, цеще означає, що учень знає доказ теореми Піфагора. Для знання докази потрібно, щоб учень знав, який зв'язок між усіма відомими йому нарізно підставами теореми Піфагора, - іншими словами, яка послідовність підстав і висновків з підстав, необхідно веде до визнання істинності положення, що доводиться в цій теоремі.
Послідовність, або зв'язок підстав і висновків з підстав, що має результатом необхідне визнання істинності тези, що доводиться, називається способом доказу у або демонстрацією. Демонстрація є не складова частина докази, але третя, поряд з тезою і підставами, що доводяться, логічна характеристика доказу.
На цьому визначення демонстрації видно її на відміну від складових частин докази— тези та підстави. І теза і кожна з підстав — положення про засвідчений факт, визначення, аксіома, раніше доведений стан науки — є окремим судженням. Навпаки, демонстрація ніколи не є ні окремим судженням, ні простою сумою окремих суджень. Демонстрація завжди є логічний зв'язок суджень, що призводить до певного логічного результату. Демонстрація це більш-менш довгий ланцюг висновків у посилками яких є підстави цього доказу, а останнім висновком — теза, що доводиться, у яку, таким чином, засвідчується як істинне.
Так, за доказом теореми евклідової геометрії про суму внутрішніх кутів трикутника (див. рис. 2) ми спочатку продовжуємо сторону трикутника АВС, наприклад сторону АС до точки Е. Потім проводимо з точки С пряму CD, паралельну АВ і по одну з нею сторону від прямий АС. Потім ми міркуємо в такий спосіб. Пряма НД перетинає паралельні (за побудовою)прямі АВ та CD. Отже, кути АВС і BCD дорівнюють як внутрішні навхрест лежачі. Пряма АС перетинає ті ж паралельні за побудовою — прямі АВ і CD. Отже, кути ВАС та DCE рівні як відповідні. Кут ВСІ, що представляє суму кутів BCD і DCE, дорівнює сумі двох внутрішніх кутів трикутника (АВС і ВАС), так як кут BCD дорівнює куту АВС, а кут DCE дорівнює куту ВАС. Додамо до кута ВСІ кут ВСА - третій внутрішній кут трикутника АВС. Тоді сума кутів DCE, BCD і ВСА дорівнюватиме сумі внутрішніх кутів даного трикутника: кутів ВАС, АВС і ВСА. Але оскільки сума кутів ВСІ (рівного сумі кутів ВАС і АВС) і ВСА дорівнює сумі двох суміжних кутів, а ця сума дорівнює двом прямим кутам, то сума внутрішніх кутів ВАС, АВС і ВСА в трикутнику АВС також дорівнює двом прямим.
Усе загалом це міркування — демонстрація. Підстави докази не виділяються у групу положень, окремих від демонстрації, але з'являються кожне тому місці, яке визначається йому логічним зв'язком всіх ланок демонстрації.
Оскільки демонстрація — порядок зв'язку між підставами і тезою— порядок, що непросто вбачається з підстав, але такий, який ще має бути знайдений, то доказ одного й того самого становища науки може бути більш менш складним чи простим, громіздким чи коротким тощо. д. Самий порядок, план доказу може змінюватись.
Зв'язок підстав, що веде до розсуду істинності тези, що доводиться,— не єдина. А оскільки зв'язок цей не дано разом із самими підставами, але ще має бути відкритий, з'ясований, знайдений, то доказ є творче завдання науки, яке творчими засобами і вирішується.
У ряді випадків завдання доказу виявляється настільки складним, що дозвіл її вимагаєвід вчених величезних зусиль протягом цілих десятиліть чи навіть століть. До цього часу не знайдено доказ теореми Ферма у тому, що рівняння x n = y n +z n може мати рішень всім цілих значень п великих дЕух. Протягом майже двох з половиною тисячоліть залишалося недоведеним існування атома, доки успіхи новітньої експериментальної та теоретичної фізики не принесли, нарешті, цей доказ. Геніальна здогад Джордано Бруно про існування планет, що обертаються навколо інших зірок, отримала доказове підтвердження лише останні десятиліття. У всіх цих випадках вченим довелося докласти чимало зусиль для доказу того, що могло бути доведено лише за певних умов розвитку спостереження, експерименту та теоретичного аналізу.
З іншого боку, там, де завдання доказу успішно вирішувалося, шляхи та засоби її вирішення у різних вчених були неоднакові. Вже антична математика знала не один єдиний доказ теореми Піфагора, а низку таких доказів. І це притаманно докази. Теза, що доводиться, — одна, логічні закони мислення — одні, але способи, що ведуть до визнання істинності тези, можуть бути різні. Способи ці визначаються: 1) підставами, з яких виводиться теза; 2) зв'язком між підставами та тезою. Зв'язок цей не видно з підстав, окремо взятих. Вона перебуває у вигляді розгляду відносин між тезою, що доводиться, і тим, що вже раніше було доведено.
Але оскільки від тези, що доводиться, до вже доведених положень можна перейти не одним єдиним способом, доказ здатний до розвитку та вдосконалення. Від примітивних способів доказу, що спиралися на неточні, приблизні і тому часто помилкові наочні уявлення до сучаснихдоказів, що спираються на точно певні поняття, на які не залежать одна від одної, вільні від протиріч, достатні у своєму числі аксіоми, а також на надзвичайно суворо доведені теореми, практика доказу пройшла великий шлях уточнення та вдосконалення. Відповідно змінилася, уточнилася і логічна теорія доказу.