4.2. Квантори
Істотна відмінність логіки предикатів від логіки висловлювань полягає також у тому, що перша вводить кількісну характеристику висловлювань або, як кажуть у логіці, квантифікує їх. Вже традиційної логіці судження класифікувалися як за якістю, а й у кількості, тобто. загальні судження відрізнялися від приватних та одиничних. Але жодної теорії про зв'язок між ними не було. Сучасна логіка розглядає кількісні характеристики висловлювань у спеціальній теоріїквантифікації,яка становить невід'ємну частину обчислення предикатів.
Для квантифікації (кількісної характеристики) висловлювань ця теорія вводить два основних квантори:квантор спільності,який ми позначатимемо символом(х),іквантор існування,позначений символом(Ех).Вони ставляться безпосередньо перед висловлюваннями чи формулами, яких ставляться. У тому випадку, коли квантори мають ширшу ділянку, перед відповідною формулою ставляться дужки.
Квантор спільностіпоказує, що предикат, позначений певним символом, належить всім об'єктам даного класу або універсуму міркування.
Так, судження: "Усі матеріальні тіла мають масу" можна перекласти символічною мовою так:
дех –означає матеріальне тіло:
(х) –квантор спільності.
Аналогічно до цього твердження про існування екстрасенсорних явищ можна виразити через квантор існування:
де черезхпозначені явища:
Е – властива таким явищам властивість екстрасенсорності;
(Ex) -квантор існування.
За допомогою квантора спільності можна висловлювати емпіричні та теоретичні закони, узагальнення про зв'язок міжявищами, універсальні гіпотези та інші загальні висловлювання. Наприклад, закон теплового розширення тіл символічно можна подати у вигляді формули:
де(х) -квантор спільності;
Т(х) –температура тіла;
Р(х) -його розширення;
Квантор існування відноситься лише до певної частини об'єктів з даного універсуму міркувань. Тому, наприклад, він використовується для символічного запису статистичних законів, які стверджують, що властивість або відношення відноситься тільки для характеристики певної частини об'єктів, що вивчаються.
Введення кванторів дає можливість насамперед перетворювати предикати на певні висловлювання. Предикати власними силами є ні істинними, ні хибними. Вони стають такими, якщо замість змінних або підставляються конкретні висловлювання, або якщо вони зв'язуються кванторами, квантифікуються. На цій підставі вводиться поділ змінних на пов'язані та вільні.
Зв'язаниминазиваються змінні, що підпадають під дію знаків кванторів спільності або існування. Наприклад, формули(х)А(х)та(х) (Р(х) →Q(x))містять зміннух.У першій формулі квантор спільності стоїть безпосередньо перед предикатомА(х),у другій – квантор поширює свою дію на змінні, що входять до попереднього та наступного членів імплікації. Аналогічно цьому квантор існування може ставитися як до окремого предикату, і до їх комбінації, утвореної з допомогою логічних операцій заперечення, кон'юнкції, диз'юнкції та інших.
Вільназмінна не підпадає під дію знаків кванторів, тому вона характеризує предикат чи пропозиціональну функцію, а не висловлювання.
За допомогоюКомбінації кванторів можна висловити символічною мовою логіки досить складні пропозиції природної мови. При цьому висловлювання, де йдеться про існування об'єктів, що задовольняють певну умову, запроваджуються за допомогою квантора існування. Наприклад, твердження про існування радіоактивних елементів записується за допомогою формули:
деRозначає властивість радіоактивності.
Твердження, що існує небезпека для курця захворіти на рак, можна виразити так: (Ех)(К(х) →P(x)),де К позначає властивість "бути тим, хто палить", аР -"захворіти на рак". З відомими застереженнями те саме можна було висловити» за допомогою квантора спільності:
(х) (К(х) → Р(х)).Але твердження, що кожен, хто палить може захворіти на рак, було б некоректним, і тому його найкраще записати за допомогою квантора існування, а не спільності.
Квантор спільності використовується для висловлювань, у яких стверджується, що певному предикатуАзадовольняє будь-який об'єкт у сфері його значень. У науці, як говорилося, квантор спільності використовується висловлювання тверджень універсального характеру, які словесно представляються з допомогою таких фраз, як " всякого " , " кожен " , " всякий " , " будь-який " тощо. Шляхом заперечення квантора спільності можна висловити загальнонегативні висловлювання, які в природній мові вводяться словами "ніякий", "жоден", "ніхто" тощо.
Зрозуміло, при перекладі символічний мову тверджень природної мови зустрічаються певні труднощі, але при цьому досягається необхідна точність і однозначність вираження думки. Не можна, однак, думати, що формальна мова багатша за природну мову, якою виражаються не просто сенс, а й різні його відтінки. Йдеться томуможе йти тільки про більш точне уявлення виразів природної мови як універсального засобу вираження думок та обміну ними у процесі спілкування.