5.2. Приватні похідні функції багатьох змінних

Зростання (зменшення) функції показує тенденцію зміни функції: функція зростає (зменшується), якщо зі зростанням змінної значення функції збільшуються (зменшуються). Кількісне вимір цих змін відбувається шляхом обчислень прирощень абсолютних, відносних, граничних.

Зрозуміло, якщо , то функція у цьому проміжку зростає поХ, якщо , то зменшується.

Визначення.Під збільшенням функції розуміють різницю:

Де точки(х1, у1)і(х2, у2)з області визначення функції.

Визначення.Відносне збільшеннявизначається як збільшення в розрахунку на одиницю зміни змінної х або змінної у.

Відносна зміна по зміннійХрозраховується як відношення:

За змінноюУ:

Розрахуємо приріст функції поХпри переході з точки(2; 1)у точку(4; 1), тобто у разі, коли приріст поХдорівнює2:

Отже, збільшення функції дорівнює–4, тобто функціяХна інтервалі зміни змінноїХ(2, 4)зменшується.

Відносне збільшення дорівнює:

Приріст функції у точці(2, 3) по зміннійУприу=0,5становить:

Т. е. по зміннійУфункція зростає.

Відносне збільшення дорівнює:

Розглянемо приріст функції змінноїУу точці(2, 4)приу=0,5:

Таким чином, можна помітити, що величина збільшення різна для різнихУ, хоча зміннаХіуоднакові.

За аналогією з функцією однієї змінної визначається безперервність функції двох змінних.

Визначення.ФункціяF(X,Y) називаєтьсяНеперервною в точці (х, у), якщозбільшення функції Fпрагне до нуля при х0 і у0, тобто, якщо виконується умова:

.

Для функцій багатьох змінних, як й у разі функції однієї змінної, вивчаються граничні значення відносних приростів щодо окремих змінних. Так, по зміннійХрозглядається:

або прих0.

Визначення.Якщо існує межа відношенняприх0, то вона називаєтьсяПриватною похідною першого порядку функціїF(X,Y) по х.

Приватна похідна поХ(у)показує граничне збільшення функції в даній точці(х, у)при фіксованомуУ(х).

Аналіз граничних змін функцій має широке застосування у економічних дослідженнях. Наприклад, рівності граничних доходів та граничних витрат, рівності

Питомих граничних корисностей товарів є достатніми умовами ефективності прийнятих рішень та інших.

ФункціюU=F(X1, …, хN)можна диференціювати щодо кожного з її аргументів, вважаючи у своїй решта аргументів постійними.

Розглянемо ще одне визначення приватної похідної.

Визначення.Виробна від функціїU=F(X1, …, хN) по х1, взята в припущенні, що всі інші аргументиX2, …, хNє постійними, називаєтьсяПриватною похідною відUпоX1І позначаєтьсяАбо.

Аналогічно визначаються і позначаються приватні похідні від функції U по кожному з інших її аргументів.

Приватні похідні функції багатьох змінних перебувають за відомими правилами диференціювання функції однієї незалежної змінної.

Приклад 37.Знайтиприватні похідні від функції

Рішення.ВважаючиZфункцією лише одного аргументуХ, знаходимо

Аналогічно, вважаючиZфункцією тількиУ, отримаємо

Рішення.ВважаючиХ2ІХ3постійними, розглянемо функціюUяк функцію однієї змінноїХ1:

Аналогічно знаходимо похідніХ2і поХ3:

Приклад 39.Знайти приватні похідні функції

---