Аксіоматичний метод
Аксіоматичний метод,спосіб побудови наукової теорії, при якому в її основу кладуться деякі вихідні положення (судження) -аксіоми,абопостулати,з яких всі інші твердження цієї науки (теореми) повинні виводитися суто логічним шляхом, за допомогоюдоказів.Призначення А. м. полягає в обмеженні свавілля при прийнятті наукових суджень як істини даної теорії. Побудова науки на основі А. м. зазвичай називається дедуктивною. Усі поняття дедуктивної теорії (крім фіксованого числа початкових) вводяться за допомогоювизначень,виражають (або роз'яснюють) їх через раніше введені поняття. Тією чи іншою мірою дедуктивні докази, характерні А. м., застосовуються у багатьох науках. Але, незважаючи на спроби систематичного застосування А. м. до викладу філософії (Б. Спіноза), соціології (Дж. Віко), політичної економії (К. Родбертус-Ягецов), біології (Дж. Вуджер) та ін наук, головною областю його застосування досі залишаються математика і символічна логіка, і навіть деякі розділи фізики (механіка, термодинаміка, електродинаміка та інших.).
А. м пройшов у своєму історичному розвитку 3 стадії. Перша пов'язана з побудовою геометрії у Стародавній Греції. Основний твір цього періоду - "Початку"Евкліда(хоча, мабуть, і до ньогоПіфагор,якому приписується відкриття А. А.). м., а потімПлатонта його учні чимало зробили для розвитку геометрії на основі А. м.). Тоді вважалося, що як аксіом повинні вибиратися судження, істинність яких «очевидна», отже істинність теорем вважалася гарантованою бездоганністю самої логіки. Але Евкліду не вдалося обмежитися суто логічними засобамипобудові геометрії на основі аксіом. Він охоче вдавався до інтуїції у питаннях, що стосуються безперервності, взаємного розташування та рівності геометричних об'єктів. Втім, за часів Евкліда такі звернення до інтуїції могли і не сприйматися як вихід за межі логіки — насамперед тому, що сама логіка ще не була аксіоматизована (хоча часткова формалізація логіки, здійсненаАристотелемта його послідовниками, і була деяким наближенням до аксіоматизації). Не було і достатньої виразності у запровадження початкових понять і щодо нових понять.
Початок другої стадії в історії А. м. пов'язують зазвичай з відкриттям Н. І.Лобачевським,Я.Більяйі К. Ф.Гауссомможливості побудувати несуперечливим чином геометрію, виходячи з систем аксіом, відмінної від евклідової. Це відкриття зруйнувало переконання в абсолютній («очевидній» чи «апріорній») істинності аксіом та заснованих на них наукових теорій. Тепер аксіоми стали розумітися просто як вихідні положення даної теорії, питання ж про їх істинність у тому чи іншому сенсі (і вибір як аксіом) виходить за межі аксіоматичної теорії як такої і належить до її взаємовідносин з фактами, що лежать поза нею. З'явилося багато (і до того ж різних) геометричних, арифметичних і алгебраїчних теорій, які будувалися засобами А. м. (роботи Р.Дедекінда,Р.Грасманата інших.). Ця стадія розвитку А. м. завершилася створенням аксіоматичних систем арифметики (Дж.Пеано, 1891), геометрії (Д.Гільберт,1899), обчислення висловлювань і предикатів (А. Н. Уайтхед і Б. Рассел, Англія, 1910) іаксіоматичної теорії множин(Е.Цермело,1908).
Гільбертівська аксіоматизаціягеометрії дозволила Ф.Клейнута А.Пуанкаредовести несуперечність геометрії Лобачевського щодо евклідової геометрії за допомогою вказівкиінтерпретаціїпонять та пропозицій неевклідової геометрії в термінах геометрії Евкліда, або, як кажуть, побудовимоделіпершою засобами другої. Метод моделей (інтерпретацій) став відтоді найважливішим методом встановлення відносної несуперечності аксіоматичних теорій. У той самий час з усією виразністю виявилося, що, крім «природної» інтерпретації (т. е. тієї, заради уточнення та розвитку якої дана теорія будувалася), в аксіоматичної теорії може бути та інших. інтерпретації, причому її можна з рівним підставою вважати «говорить» про кожну з них.
Послідовний розвиток цієї ідеї та прагнення точно описати логічні засоби виведення теорем з аксіом привели Гільберта до концепції формального А. м., характерної для третьої, сучасної його стадії. Основна ідея Гільберта - повна формалізація мови науки, при якій її судження розглядаються просто як послідовності знаків (формули), які не мають ніякого сенсу (якого вони набувають лише при певній конкретній інтерпретації). Це відноситься і до аксіом - як загальнологічним, так і специфічним для даної теорії. Для виведення теорем з аксіом (і взагалі одних формул з інших) формулюються спеціальні правила виведення (наприклад, т. зв. правило modus ponens - «правило закреслення», що дозволяє отриматиВзАі "А тягне В"). Доказ у такій теорії (обчисленні,абоформальній системі)—це просто послідовність формул, кожна з яких або є аксіома, або виходить з попередніх формул послідовності з будь-якогоправилу вывода.На відміну таких формальних доказів, властивості самої формальної системи загалом обговорюються — котрий іноді вдається і довести — змістовними засобами т. зв.метатеорії,тобто теорії, що розглядає дану («предметну») теорію як предмет вивчення. Мовою метатеорії (метазика) формулюються і правила виведення предметної теорії. За задумом Гільберта, у межах створеної їм теорії доказів, тобто. допускаючи у метатеорії лише т. зв. фінітні методи міркування (які використовують посилання ні які об'єкти, які мають кінцевого побудови), можна було б довести несуперечність і повноту всієї класичної математики (тобто. доказовість кожної формули, істинної за певної певної інтерпретації). Незважаючи на низку значних результатів у цьому напрямку, гільбертівська програма в цілому (її зазвичай називають формалізмом) нездійсненна, тому що, згідно з найважливішим результатом До. багата несуперечлива формальна система обов'язково неповна (т. зв. теорема про неповноту). Теорема Геделя свідчить про обмеженість А. м. (хоча певні розширення метатеоретичних засобів, що допускаються, і дозволили німецькому математику Г. Генцену, П. С.Новіковута ін. математикам отримати доказ несуперечності формалізованої арифметики ).
А. м. схильний також до критики, що виходить з різних семантичних (див.Логічна семантика) критеріїв. Так, інтуїціоністи (Л. Е. Я.Брауер,Г.Вейльта ін.) не визнають обґрунтованості у застосуванні до нескінченних множинам принципу виключеного третього (див.Виключеного третього принцип) тим часом цей принцип не тільки береться як логічна аксіома в більшостіформальних теорій, а й використовується сутнісно (хоч і неявно) у основних передумовах гільбертівської програми, за якою несуперечність теорії — достатня умова її «істинності». Як і інтуїціонізм,конструктивний напрямокв математиці (в СРСР - А. А. Марков і Н. А. Шанін) вважає призначенням математики вивчення не довільних моделей несуперечливих формальних систем, а лише сукупностей об'єктів, що допускають у певному сенсі ефективну побудову.
Ще суттєвіші заперечення проти А. м. висуває ультраінтуїціоністська критика, що ставить під сумнів єдиність натурального ряду чисел і, тим самим, однозначну певність поняття теореми формальної системи. Відповідно до цієї критики, А. м. заснований на «принципі локальності для доказів», який передбачає, що якщо аксіоми істинні і правила виведення зберігають істинність, то істинними неодмінно мають бути і теореми. Т. о., інтуїтивне обґрунтування загальновживаного принципу математичної індукції, згідно з ультраінтуїціоністською критикою, містить непереборне порочне коло. Ультраінтуїціонізм, не обмежуючись критикою, пропонує і позитивну програму подолання зазначених труднощів.
Літ.:Почала Евкліда, пров. з грец., [Т. 1 - 3], М. - Л., 1948 - 50; Кліні С. До., Введення в метаматематику, пров. з англ., М., 1957 (бібл.); Новіков П. С., Елементи математичної логіки, М., 1959: Єсенін-Вольпін А. С., Про аксіоматичний метод, «Питання філософії», 1959 № 7; Садовський Ст Н., Аксіоматич. метод побудови наук. знання, у кн.: Філос. питання совр. формальної логіки, М., 1962; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1 - 2, Ст, 1934 - 39.
Ю. А. Гастєв, А. С. Єсенін-Вольпін.