Актуарна математика - Стор 5
Припустимо для простоти, що поділяється націло на і, тоді число надходжень грошових сум u n.
Якщо нарахування відсотків т разів протягом базового періоду,
При нарахуванні безперервних відсотків
4.4 Вирішення типових завдань
Здаючи в оренду ділянку, потрібно вибрати один з варіантів оплати оренди: а) 300 тис.руб. наприкінці кожного року; б) 2 млн. 400 тис. руб. наприкінці шестирічного періоду. Який варіант кращий, якщо банк пропонує 10% річних за вкладами, відсотки нараховуються щокварталу? За якої оплати в кінці кожного року обидва варіанти практично еквівалентні?
Перший варіант оплати є ануїтет постнумерандо. І тут є можливість щорічного отримання орендного платежу та інвестування отриманих сум за умов 10% річних.
Нарощена сума ануїтету за першим варіантом дорівнює 2 млн. 337 тис. 68 руб. Згідно з другим варіантом оплати можна отримати одночасно 2 млн. 400 тис. руб., Отже цей варіант вигідніше.
Для визначення величини оплати наприкінці кожного року, за якої обидва варіанти еквівалентні
Працівник укладає з фірмою контракт, згідно з яким у разі його постійної роботи на фірмі до виходу на пенсію (65 років) фірма зобов'язується перерахувати в кінці кожного півріччя протягом 25 років на рахунок працівника в банку однакові суми, які забезпечать працівникові додаткову пенсію в кінці кожного місяця у розмірі 8000 руб. Протягом 18 років. Яку суму щорічно має перераховувати фірма, якщо працівникові 40 років і передбачається, що банк гарантує річну відсоткову ставку 8%, відсотки нараховуються щокварталу.
Виплати працівникові після виходу пенсію є ануїтет постнумерандо з А=8000 крб., п =18років, p = 12, m = 4, r = 0,08, отже наведена сума на момент виходу працівника на пенсію визначається:
Ця ж сума має бути накопичена за 25 років на рахунку в банку, тобто є нарощеною сумою для ануїтету постнумерандо n=25, p=2, m=4, r=0,08
Якщо компанія протягом 25 років кожні півроку перераховуватиме на рахунок працівника по 5936,893 рублів, то накопичених коштів
буде достатньо, щоб виплачувати працівникові щомісяця протягом 18 років по 8000 рублів.
Протягом 4 років з цього приводу у банку щодня надходитимуть однакові платежі, щороку становлячи сумі 100 тыс.руб. Визначте суму, накопичену до кінця четвертого року при використанні процентної ставки 15% річних, якщо нарахування складних відсотків здійснюється: а) щорічно; б) щомісяця.
а) n=4, m=1, r=15%. Оскільки платежі надходять досить часто можна припустити, що вони надходять безперервно, тоді за А 100 тис.р.
Але можна припустити, що маємо ануїтет постнумерандо р=360, А=100/360
Якщо передбачається ануїтет
Фірма має намір заснувати фонд для щорічної (наприкінці року) виплати допомоги своїм працівникам. Визначити суму, яку фірма має помістити на депозит у банк, що забезпечити отримання необмежено довго наприкінці кожного року 800 тис.руб., якщо банк нараховує: а) щорічно складні відсотки за ставкою 6%; б) що-
квартально складні відсотки за ставкою 6%; в) безперервні відсотки із силою зростання 6%.
Грошовий потік завжди є безстроковим ануїтетом постнумерандо, причому А=800 тыс.руб. необхідно знайти наведену вартість цього ануїтету.
13037,06 тис. руб.
Працівник укладає з фірмою контракт на 14 років, згідно з яким крім щомісячної заробітної платиз цього приводу працівника банку наприкінці кожного двох літнього періоду надходитиме преміальна сума у вигляді 80 тыс.руб. Потрібно визначити нарощену суму до кінця дії контракту, якщо на суми, що надходять, будуть нараховуватися: а) щорічні складні відсотки за номінальною річною процентною ставкою 12%; б) щоквартальні складні відсотки за номінальною річною відсотковою ставкою 12%; в) безперервні відсотки із силою зростання 12% на рік.
Грошові надходження утворюють постійний ануїтет постнумерандо з А = 80 тис. руб., Терміном п = 14 років і періодом і = 2 роки.
придбав обладнання у кредит за 900
тис. руб. під 25% річних, що нараховуються за схемою складних відсотків на непогашений залишок. Повертати борг потрібно рівними сумами наприкінці кожного другого року та виплатити весь борг за 10 років. Потрібно визначити величину кожного платежу та скласти план погашення боргу.
Позначимо через А величину кожного шуканого платежу. Потік цих платежів є ануїтет постнумерандо, для ко-
PV pst a 900 тис.руб., r=25%,
n=10, m=1, u=2. Тому
Платіж в 567147 руб., Зроблений наприкінці другого року, складається з двох частин: складних відсотків за два роки 900000 ((1 +0,25) 2 -
1) = 506250 руб. і погашається частини боргу 567147 - 506250 = 60897 руб.
У наступні два роки розрахунок буде аналогічним, але розмір кредиту, яким користується підприємець, буде меншим і складе
План погашення боргу представлений у таблиці Таблиця - План погашення боргу
4.5 Завдання для самостійного вирішення
1. Для створення фонду фірма вкладає щорічно у банк по 24 тис. руб. під річну номінальну відсоткову ставку 12%. Визначте суму, яка буде накопичена у фонді через 8 років, якщо: а)
внески робляться наприкінці року,а складні відсотки нараховуються за півріччя; б) внески робляться рівними частками наприкінці кожного місяця (тобто по 2 тис. руб.), а складні відсотки нараховуються щокварталу; в) внески робляться рівними частками наприкінці кожного кварталу (тобто по 6 тис. руб.) і нараховуються безперервні відсотки.
2. Банк пропонує ренту постнумерандо на 10 років із щоквартальною виплатою 4 тис. руб. Річна процентна ставка протягом усього періоду залишається постійною, і складні відсотки нараховуються щокварталу. За якою ціною можна придбати цю ренту, якщо виплати почнуть здійснюватись: а) негайно; б) через 4 роки; в) через 5,5 року, а складна відсоткова ставка дорівнює 10% річних?
3. Клієнт хоче накопичити на своєму рахунку 800 тис. руб., Здійснюючи наприкінці кожного кварталу рівні вклади в банк під складну відсоткову ставку 9% річних з піврічним нарахуванням. Якої величини має бути кожен внесок, щоб клієнт міг нагромадити необхідну суму за: а) 5 років; б) 10 років?
4. На щоквартальні внески до банку розмірі 10 тис. крб. за схемою пренумерандо банк нараховує складні відсотки за номінальною процентною ставкою 14% річних: а) щорічно; б) разів у півроку. Яка сума буде на рахунку за 3 роки?
5. Деяка фірма хоче створити фонд у вигляді 400 тис. крб.
З цією метою наприкінці кожного року фірма має намір вносити по 80 тис. руб. до банку під 12% річних. Знайдіть термін, необхідний створення фонду, якщо банк нараховує складні відсотки: а) щорічно; б) щокварталу; в) безперервно.
6. Клієнт поклав у банк 20 тис. руб., маючи намір знімати з рахунку наприкінці кожного року 5,5 тис. руб. Як довго клієнт зможе знімати гроші з рахунку, якщо банк нараховує складні відсотки за ставкою 14% річних: а) щорічно; б) щокварталу; в) безперервно?
7. Умолодої людини 24 років з'явилася можливість закінчити річний курс навчання вартістю 200 тис. руб. і обійняти вищу посаду. Наскільки вищою має бути заробітна плата на новій посаді, щоб молода людина вважала навчання доцільним, якщо в даний час його річна заробітна плата становить 132 тис. руб. і вважає прийнятною собі норму віддачі вкладення 16% річних? На новій посаді юнак збирається працювати до виходу пенсію, тобто. 40 років. Як зміниться відповідь, якщо таку можливість навчання усвідомлює чоловік 54 років?
8. Перед виходом пенсію пан N хоче забезпечити собі додатковий щорічний прибуток у сумі 160 тис. крб. необмежено довго. Яку суму він має помістити в банк, нараховую-
ний складні відсотки за ставкою 8% річних зі щоквартальним нарахуванням?
9. Компанія гарантує виплату дивідендів у розмірі 4 тис. руб. на акцію наприкінці кожного року протягом невизначено тривалого часу. Чи має сенс купувати акції цієї компанії за ціною 18 тис. руб., Якщо можна помістити гроші на депозит під 11% річних
з нарахуванням складних відсотків: а) щорічно; б) щокварталу?
10. Фірма має намір випускати деяку продукцію протягом чотирьох років, отримуючи щорічно виторг у розмірі 40 млн руб. Передбачається, що продукція протягом року буде продаватися більш менш рівномірно. Оцініть очікувані грошові надходження, якщо застосовується: а) складна відсоткова ставка 12% річних; б) безперервна ставка 12% протягом року.
11. Протягом 3 років з цього приводу у банку щодня надходитимуть однакові платежі, щороку становлячи у сумі 150 тис. крб. Визначте суму, накопичену до кінця третього року при використанні процентної ставки 6% річних, якщо нарахування складних відсотківздійснюється: а) за півріччя; б) щомісяця.
12. Страхова компанія, уклавши на 8 років договір із деякою фірмою, отримує від неї страхові внески по 70 тис. руб. наприкінці кожного дворічного періоду. Ці внески компанія поміщає до банку під річну номінальну відсоткову ставку 10% річних. Знайдіть наведену вартість суми, яку отримає страхова компанія за цим контрактом, якщо складні відсотки нараховуються: а) щорічно; б) щокварталу; в) безперервно.
13. Перед виходом на пенсію пан N хоче забезпечити собі додатково після кожних двох років дохід у сумі 100 тис. руб. необмежено довго. Яку суму він має помістити до банку, який нараховує складні відсотки за ставкою 10% річних із щомісячним нарахуванням?
14. Ви зайняли на п'ять років $12000 під 12% річних, що нараховуються за схемою складних відсотків на непогашений залишок. Повертати треба рівними сумами наприкінці кожного року. Визначте, яку частину основної суми кредиту буде погашено за перші два роки.
15. Чи варто купувати за $5500 цінний папір, що генерує щорічний дохід у розмірі $1000 протягом семи років, якщо коефіцієнт дисконтування дорівнює 8%?
16. Підприємство придбало будинок за $20000 на таких умовах: а) 25% вартості оплачуються негайно; б) решта погашається рівними піврічними платежами протягом 10 років
з нарахуванням 12% річних на непогашену частину кредиту за схемою
складних відсотків нараховуються щокварталу). Визначте величину річного платежу.
17. Ділянка здана в оренду на 20 років. Сума річного платежу (схема постнумерандо) $1000, причому кожні п'ять років відбуватиметься індексація величини платежу на 10%. Розрахуйте поточну ціну договору на момент його укладання, якщо банківська процентнаставка дорівнює 15% із щоквартальним нарахуванням.
18. Фірма має намір випускати деяку продукцію протягом трьох років, отримуючи щорічно виторг у розмірі 30 млн. руб. Передбачається, що продукція продаватиметься рівномірно. Оцініть очікувані сумарні грошові надходження, якщо: а) застосовується ставка 10% річних (щомісячне нарахування); б) 10% нараховуються щодня.
5. ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №5 АНАЛІЗ ІНВЕСТИЦІЙНИХ ПРОЕКТІВ
5.1 Мета заняття
Опанувати методику оцінки ефективності інвестиційних проектів, які задані як ординарний чи неординарний фінансові потоки.
5.2 Завдання заняття
Освоїти навички знаходження критеріїв оцінки інвестиційних проектів, що ґрунтуються на розрахунку таких показників як: чиста наведена вартість, чиста термінальна вартість, індекс рентабельності, внутрішня норма прибутку, термін окупності.
5.3 Короткі теоретичні відомості
та формули для розрахунку
В основі процесу прийняття рішень інвестиційного характеру лежать оцінка та порівняння обсягу передбачуваних інвестицій та майбутніх грошових надходжень. Оскільки показники, що порівнюються, відносяться до різних моментів часу, то ключовою проблемою є проблема їх сумісності.
У загальному вигляді інвестиційний проект Р є модель P < IC i , C k , n , r >, де IC i - інвестиція в iгоду, i = 1, ..., m частіше
m=1; З л - приплив (відтік) коштів на k=1,…,n; n -
тривалість проекту; r – ставка дисконтування.
Якщо фінансовий потік у своєму складі містить лише одну інвестицію та всі інші елементи цього потоку позитивні,
то він називається ординарним фінансовим потоком. В іншому випадку потік називається неординарним.
Інвестиційні проекти,аналізовані у процесі складання бюджету капіталовкладень, мають певну логіку:
- з кожним інвестиційним проектом прийнято пов'язувати грошовий потік, елементи якого є або чисті притоки, або чисті відтоки коштів. Під чистим відпливом розуміється перевищення поточних грошових витрат у проекті над поточними грошовими надходженнями (при зворотному співвідношенні – чистий приплив).
- передбачається, що обсяг інвестицій відбувається наприкінці року, попереднього першому року генерованого проектом припливу коштів.
- Приплив (відтік) має місце в кінці чергового року (оскільки, наприклад, прибуток вважається наростаючим підсумком на кінець звітного року).
- ставка дисконтування, що використовується для оцінки проектів за допомогою методів, що базуються на дисконтованих оцінках, повинна відповідати довжині періоду, закладеного в основу інвестиційного проекту.
Критерії, що використовуються в аналізі інвестиційної діяльності, можна поділити на дві групи в залежності від того, враховується чи ні тимчасовий параметр: а) засновані на дисконтованих оцінках; б) засновані на облікових оцінках.
Метод розрахунку чистої наведеної вартості (Net Present Value, NPV) заснований на зіставленні величини вихідної інвестиції (IC) із загальною сумою дисконтованих чистих грошових надходжень, що генеруються нею протягом прогнозованого терміну. Оскільки приплив коштів розподілений у часі, він дисконтується з допомогою ставки r , встановлюваної аналітиком (інвестором) самостійно з щорічного відсотка повернення, що він хоче чи може мати на інвестований ним капітал. Наприклад, при аналізі інвестицій у виробничі підприємства як ставки дисконтування використовуютьсясередньогалузеві показники прибутковості підприємств аналогічного класу
Нехай робиться прогноз, що інвестиція (IC) буде генерувати
протягом п років річні доходи у розмірі З 1 З 2 . З n . Загальна накопичена величина дисконтованих доходів (Present Value, PV) та чиста наведена вартість відповідно розраховуються за формулами