Алгебраїчні рівняння ступеня n
Визначення
Розглянемо довільне рівняння виду
\[a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]
де \(a_n, a_,\dots,a_0\) – деякі числа, причому \(a_n\ne 0\) , зване рівнянням алгебри (з одного змінної) \(n\) -ой ступеня.
Позначимо \(P_n(x)=a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0\) . Таким чином, скорочено рівняння \((1)\) можна записати у вигляді \(P_n(x)=0\).
Зауваження
Зауважимо, що квадратне рівняння — це рівняння алгебри, ступінь якого дорівнює \(2\) , а лінійне — ступінь якого дорівнює \(1\) . Таким чином, всі властивості рівнянь алгебри вірні і для квадратних рівнянь, і для лінійних.
Теорема
Якщо рівняння \((1)\) має корінь \(x=x_0\) , воно рівносильне рівнянню
де \(P_(x)\) - деякий багаточлен ступеня \(n-1\).
Для того, щоб знайти \(P_(x)\), необхідно знайти приватне від поділу многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\) (т.к. \(P_n( x) = (x-x_0) \ cdot P_ (x) \) ).
Слідство: кількість коренів рівняння
Будь-яке рівняння алгебри ступеня \(n\) може мати не більше \(n\) коренів.
Зауваження
Зокрема, квадратне рівняння дійсно має завжди не більше двох коренів: два, один (або два збігаються) або жодного кореня.
Для того, щоб знайти приватне від поділу одного багаточлена на інший, зручно користуватися наступним способом, який ми розглянемо на прикладі.
Приклад
Відомо, що \(x=2\) є коренем рівняння \(2x^3-9x^2+x^4-x+6=0\) . Знайдіть приватне від розподілу \(2x^3-9x^2+x^4-x+6\) на \(x-2\) .
Рішення. Ділитимемо багаточлен набагаточлен у стовпчик. Запишемо
Зауважимо, що записувати доданки в ділимому необхідно за зменшенням їх ступенів: у разі спочатку \(x^4\) , потім \(2x^3\) і т.д. Підбирати складові в приватному будемо таким чином, щоб при відніманні знищити спочатку четвертий ступінь, потім третій і т.д. Т.к. дільник (x-2) складається з двох доданків, то при розподілі в стовпчик будемо зносити по два доданки.
Подивимося, потім необхідно домножити \(x-2\) , щоб після віднімання з \(x^4+2x^3\) отриманого многочлена знищилося доданок \(x^4\,\) . На \(x^3\) . Тоді після віднімання \(x^4+2x^3-x^3(x-2)\) залишиться \(4x^3\) . Знесемо доданок \(-9x^2\) :
Тепер подивимося, потім необхідно домножити \(x-2\) , щоб після віднімання з \(4x^3-9x^2\) отриманого многочлена знищилося доданок \(4x^3\) . На \(4x^2\): \(\quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2\) . Знову знесемо наступне доданок \(-x\) :
Розмірковуючи аналогічно, визначаємо, що третій доданок у приватному має бути \(-x\)
Четвертий доданок у приватному має бути \(-3\) :
Отже, можна сказати, що (x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)\) .
Зауваження
1) Якщо \(x=x_0\) дійсно є коренем рівняння, то після такого поділу в залишку має бути \(0\) . Інакше це означає, що розподіл у стовпчик виконано неправильно.
2) Якщо многочлен ділиться без залишку (тобто залишок дорівнює \(0\) ) на \(x+a\) , то він також буде ділитися без залишку на \(c(x+a)\) для будь-якого числа \( c\ne 0\) . Наприклад, у разі, якби ми поділили многочлен, наприклад, на \(2x-4\) , отримали б у приватному \(\frac12 x^3+2x^2-\frac12x-\frac32\) . Зауважимо, що також відбувається і з числами: якщо ми розділимо (10) на (2), тоотримаємо (5); а якщо розділимо \(10\) на \(3\cdot 2\), то отримаємо \(\frac53\).
3) Розподіл у стовпчик допомагає знайти інше коріння рівняння: тепер для того, щоб знайти решту коріння рівняння \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=0\) , необхідно знайти коріння рівняння \(x^ 3+4x^2-x-3=0\). Тому розглянемо кілька фактів, що часто допомагають підібрати коріння рівняння алгебри.
Теорема
Якщо число \(x=1\) є коренем рівняння \((1)\) , то сума всіх коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю:
Доказ
Справді, оскільки \(x=1\) є коренем рівняння \((1)\) , то після підстановки \(x=1\) до нього ми отримаємо правильну рівність. Оскільки \(1\) у будь-якій мірі дорівнює \(1\), то зліва ми дійсно отримаємо суму коефіцієнтів \(a_i\), яка дорівнюватиме нулю.
Приклад
У рівняння \(x^2-6x+5=0\) сума коефіцієнтів дорівнює нулю: \(1-6+5=0\) . Отже, \ (x = 1 \) є коренем цього рівняння. Це можна перевірити просто підстановкою: \(1^2-6\cdot 1+5=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\) .
Теорема
Якщо число \(x=-1\) є коренем рівняння \((1)\), то сума коефіцієнтів при парних ступенях \(x\) дорівнює сумі коефіцієнтів при непарних ступенях \(x\).
Доказ
1) Нехай \ (n \) - парне. Підставимо \(x=-1\):
\(a_n\cdot (-1)^n+a_\cdot (-1)^+a_cdot (-1)^+\dots+a_1cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\) \(a_n-a_+a_-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\) \(a_n+a_+\dots+a_0=a_+a_+\dots+a_1\)
2) Випадок, коли \(n\) - непарне, доводиться аналогічно.
Приклад
У рівнянні \(x^3+2x^2-8x+5=0\) сума коефіцієнтів дорівнює нулю:
Отже, число (x=1) є коренем даного рівняння.
Можна розділити на стовпчик\(x^3+2x^2-8x+5\) на \(x-1\) :
\[\begin x^3+2x^2-8x+5&\negthickspace\underline\\ \underline \phantom&\negthickspace \quad x^2 + 3x -5\[-3pt] 3x^ 2 - 8x\,\phantom&\underline\phantom&\[-3pt] -5x + 5&\\ \underline& \\end\]
Таким чином, (x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)\) . Отже, решта коріння вихідного рівняння — це коріння рівняння (x^2+3x-5=0).
Таким чином ми знайшли все коріння вихідного рівняння.
Приклад
У рівнянні \(x^3-x^2+x+3=0\) сума коефіцієнтів при парних ступенях \(-1+3=2\) , а при непарних: \(1+1=2\) . Таким чином, число (x=-1) є коренем даного рівняння.
Можна розділити в стовпчик \(x^3-x^2+x+3\) на (x+1\) :
\[\begin x^3-\,x^2+ \ x+3\phantom&\negthickspace\underline\\ \underline \phantom&\negthickspace \quad x^2 -2x +3\\[ -3pt] -2x^2 + x\phantom&\\\underline\,\phantom&\\[-3pt] 3x + 3&\\ \underline&\\[-3pt] 0&\\\end\]
Таким чином, (x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 - 2x +3)\) . Отже, решта коріння вихідного рівняння — це коріння рівняння (x^2-2x+3=0). Але це рівняння немає коренів ( \(D ), отже, вихідне рівняння має лише один корінь \(x=-1\) .
Зауваження
Підбір коренів таким чином, розподіл у стовпчик і розкладання багаточлена на множники допомагають знайти коріння рівняння.
Існує ще одна дуже важлива теорема, що дозволяє підібрати раціональний корінь рівняння алгебри, якщо такий є.
Теорема
Якщо рівняння алгебри
\[a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0=0,\] де \(a_n, \dots, a_0\) — цілі числа, має раціональний корінь \(x=\dfrac pq\) , точисло \(p\) є дільником вільного члена \(a_0\), а число \(q\) - дільником старшого коефіцієнта \(a_n\).
Приклад
Розглянемо рівняння \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0\).
У разі \(a_0=-3, a_n=2\) . Дільники числа \(-3\) - це \(\pm 1, \pm 3\). Дільники числа \(2\) - це \(\pm 1, \pm 2\). Комбінуючи з отриманих дільників дробу, отримуємо всі можливі варіанти раціонального коріння:
\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]
За попередніми теоремами можна швидко зрозуміти, що (pm1) не є корінням. Підставивши \(x=-\dfrac12\) в рівняння, отримаємо:
\[2\cdot \dfrac1+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]
Отже, число \(x=-\frac12\) є коренем рівняння.
Можна перебрати інші варіанти: таким чином ми знайдемо ще один раціональний корінь рівняння (x = 3). Значить, рівняння можна подати у вигляді
\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (Тоді \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\) ). Зауважимо, що другий вид запису рівняння зручніший, т.к. нам не доведеться при розподілі в стовпчик працювати з дробами.
Після розподілу в стовпчик \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3\) на ((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\) :
отримаємо, що \ (P_2 (x) = x ^ 2 + 1 \) . Даний многочлен немає коренів, отже, рівняння має лише два кореня: \(x=-\frac12\) і \(x=3\) .
Зауваження
Зауважимо, що якщо, користуючись попередньою схемою, не вдалося підібрати раціональний корінь рівняння, це зовсім не означає, що рівняння не має коріння. Наприклад, рівняння \(x^3-2=0\) має корінь - це \(x=\sqrt[3]2\), і він не раціональний. Для підбору ірраціонального коріння немає універсального алгоритму.
Приклад
Знайдіть корені рівняння \(4x^3-3x^2-\frac6x-1=0\) .
Зауважимо, що у цьому рівнянні в повному обсязі коефіцієнти – цілі числа (коефіцієнт при \(x\) дорівнює \(-\frac6\) ). Але ми можемо перетворити дане рівняння до потрібного нам виду: необхідно помножити праву та ліву частини рівняння на \(6\) :
\[24x^3-18x^2-23x-6=0\] Дільники вільного члена: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\) . Дільники старшого коефіцієнта: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\) . Вийшло досить багато \(:)\) Випишемо деякі можливі раціональні корені рівняння:
\pm 1, \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3 \quad \text>\]
Перебираючи варіанти, переконуємось, що \(\frac32\) підходить. Отже, многочлен \(24x^3-18x^2-23x-6\) повинен без залишку поділитися на \(x-\frac32\) . Для зручності розділимо на \(2(x-\frac32)=2x-3\) (щоб не працювати з дробами):
Таким чином, \(24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)\) . Рівняння (12x^2 +9x +2=0) у свою чергу коренів не має. Значить, (x = frac32) - єдиний корінь вихідного рівняння.
Теорема
Будь-який многочлен \(P_n(x)=a_nx^n+a_x^+\dots+a_1x+a_0\) можна розкласти на добуток множників: лінійних ( \(ax+b, a\ne 0\) ) і квадратичних ( \( cx^2+px+q, c\ne 0\) ) з негативним дискримінантом.
Слідство
Кубічне рівняння \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) має як мінімум один речовий корінь, т.к. його ліву частину завжди можна уявити як
Зауваження
Насправді, такий висновок можна зробити про будь-яке рівняння алгебри непарного ступеня. Але, як правило, у шкільному курсі математики вкрай рідко зустрічаються рівняння ступеня вище\ (4 \).
Завдання з рівняннями алгебри в ЄДІ з математики зустрічаються рік у рік, а тому освіжити в пам'яті базову теорію з цієї теми неодмінно стоїть всім учням. При цьому практика показує, що подібні завдання викликають певні складнощі більшості випускників. Тому, якщо одним із ваших слабких місць є завдання ЄДІ із системами лінійних рівнянь алгебри і ви розраховуєте отримати конкурентні бали за підсумками проходження атестаційного випробування, повторіть загальну теорію. Однак знайти джерело, в якому весь необхідний базовий матеріал викладено доступно і зрозуміло для учнів з будь-яким рівнем підготовки не так просто, як здається на перший погляд. Шкільні підручники неможливо завжди тримати під рукою. А знайти основні формули досить проблематично навіть на просторах Інтернету.
Для того, щоб учні з Москви або іншого українського населеного пункту, які відвідали освітній портал «Школкове», змогли легко та якісно підготуватися до ЄДІ, ми не лише у зрозумілій формі виклали теорію рівнянь алгебри, але й підібрали відповідні вправи. Для кожного з них наші фахівці прописали докладний алгоритм рішення та вказали правильну відповідь. Послідовно виконуючи прості і складніші вправи з цієї теми, учні зможуть відпрацювати звичку розв'язання таких завдань. Перелік завдань у розділі «Каталог» постійно доповнюється та оновлюється.
Вивчити теоретичний матеріал на тему «Алгебраїчні рівняння» та попрактикуватися у виконанні вправ можна в режимі онлайн. За потреби будь-яке завдання можна зберегти у «Вибраному». Це дозволить надалі повернутись до завдання або обговорити алгоритм його вирішення з викладачем.