База топології, Математика, FANDOM powered by Wikia

База топології(базис топології, відкрита база, база топологічного простору X) — сімейство $ \mathfrak$ відкритих підмножинXтаке, що кожне відкрите безліч $ G\subset X $ є об'єднанням елементів $U\subset \mathfrak$ . Поняття бази - одне з основних у топології. У багатьох питаннях, що належать до відкритих множин деякого простору, достатньо обмежитися розглядом елементів його бази. Простір може мати багато баз, найбільшу з яких утворює сімейство всіх відкритих множин.

Зміст

Пов'язані визначення

  • Мінімум потужностей всіх баз називається вагою топологічного просторуX. У просторі ваги $ \tau $ існує всюди щільна безліч потужності $ \ leqslant \tau $ .
  • Простори з лічильною базою називаються також просторами з другою аксіомою лічильності.
  • Існує двоїсте поняттязамкнутої бази, утвореної доповненнями до елементів бази, але воно мало вживане.

    • Локальність

    Локальною базоюпросторуXу точці $ x \in X $ (базою точки $ x $ ) називається сімейство $ \mathfrak(x) $ його відкритих множин, що має властивість: для будь-якого околиці $

    x $ знайдеться елемент $ V \in \mathfrak(x) $ такий, що $ x \in V \subset Ox $ . Простори, що мають лічильну локальну базу в кожній точці, називаються також просторами з першої аксіомою лічильності. Сімейство $ \mathfrak$ відкритих вXмножин базою тоді і тільки тоді, коли воно є локальною базою кожної його точки $ x \in X $ .

    \mathfrak$ - Деякі координатні числа. База $ \mathfrak$ просторуXназивається $ \mathfrak $ -точковою, якщо кожна точка $ x \in X $ належить не більше ніж $ \mathfrak $ елементам сімейства $ \mathfrak$ . Зокрема, при $ \mathfrak=1 $ база називаєтьсядиз'юнктної, при кінцевому $ \mathfrak $ -точково кінцевої, при $ \mathfrak=\mathcal_0 $ -точково рахункової.

    База $ \mathfrak$ простору X називається $ \mathfrak $ -локальною, якщо для кожної точки $ x \in X $ існує її околиця $

    Ox$, що перетинається з не більш ніж $\mathfrak$ елементами сімейства $\mathfrak$. Зокрема, при $ \mathfrak=1 $ база називаєтьсядискретною, при кінцевому $ \mathfrak $ -локально кінцевою, при $ \mathfrak=\mathcal_0 $ -локально рахунковою. База $ \mathfrak$ називається $ \mathfrak-\mathfrak-$-точкової ($ \mathfrak-\mathfrak-$-локальної), якщо вона є об'єднанням безлічі потужності $ \mathfrak\mathfrak $-точкових ( $ \mathfrak $-локальних) баз. Такі, наприклад, за $ \mathfrak=\mathcal_0 $ $

    \sigma $-точково кінцеві, $

    \sigma $ -локально кінцеві бази.

    Ці поняття знаходять застосування головним чином умовах метризируемости просторів. Так, простір з лічильною базою або з першою аксіомою лічильності і точково лічильною базою метризується; регулярний простір з $

    \sigma $-дискретної або з $

    \sigma$ -локально кінцевою базою метризується (зворотне вірно тільки для першого твердження).

    Рівномірність

    База $ \mathfrak$ просторуXназиваєтьсярівномірною(k-рівномірною), якщо для кожної точки $ x \in X $ (кожної бікомпактної підмножиниF) та кожної її (його) околиці $Ox

    (OF) $ лише кінцеве число елементів бази міститьx(перетинається зF) і одночасно перетинається з доповненням $ X\smallsetminus Ox

    (X\smallsetminus OF) $ . ПростірXметризується тоді і тільки тоді, коли воно є паракомпактом з рівномірною базою (колмогоровським, або $ T_0 $ -простором зk-рівномірною базою).

    Регулярність

    Базою $ \mathfrak$ просторуXназивається регулярною, якщо для кожної точки $ x \in X $ і довільної її околиці $

    Ox$ існує така околиця $

    O'x $ , що безліч всіх елементів бази, що перетинаються одночасно з $

    O'x$ і $X\smallsetminus Ox$, звичайно. Для метризованості досяжного абоT 1-простору необхідно і достатньо наявності в ньому регулярної бази.

    Варіації та узагальнення

    • Узагальненням поняття бази так звана $

    \pi $ -база (решіточна база) - сімейство $ \mathfrak$ відкритих у просторіXмножин таке, що кожна непуста відкрита вXбезліч містить непусту безліч з $ \ mathfrak$ , тобто $ \mathfrak$ щільно вXза Xаусдорфом. Будь-яка база є $

    \pi$-базою. Зворотне неправильно, наприклад, у бікомпактному розширенні Стоуна - Чеха в $ \mathbb^ $ безлічі натуральних чисел безліч $ \mathbb^ $ утворює лише $

    Література

    • Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введення в загальну теорію множин і функцій, М-код.—Л., 1948
    • Урисон П. С., Праці з топології та інших областей математики, т. 1-2, М.-Л., 1951
    • Пасинков Би. А., Введення у теорію розмірності. Введення в теорію топологічних просторів та загальну теорію розмірності, М., 1973
    • Архангельський А. Ст, Пономарьов Ст І., Основи загальної топології в завданнях івправах, М., 1974
    • Бурбаки Н., Загальна топологія. Основні структури, пров. з франц., М., 1968