Базис Гребнера
Базис Гребнера- безліч, яка породжує ідеал заданого кільця багаточленів, що має спеціальні властивості.
Зміст
Мінімальний базис Гребнера
Мінімальним базисом Гребнераполіноміального ідеалуIназивається його базис ГребнераG, такий, що:
Редукований базис Гребнера
Редукованим базисом Гребнераполіноміального ідеалуIназивається його базис ГребнераG, такий, що:
Для редукованого базису Гребнера ідеалу правильне таке твердження:
НехайI— поліноміальний ідеал, і задано деяке мономіальне впорядкування. Тоді існує єдиний редукований базис Гребнера ідеалу I .
Найпершим алгоритмом побудови редукованого базису Гребнера ідеалу вважається алгоритм Бухбергера. Цікаво, що відомий метод Гауса рішення систем лінійних рівнянь є окремим випадком алгоритму Бухбергера.
Крім того, французьким математиком Жаном-Шарлем Фожером було запропоновано алгоритми F4 та F5 знаходження базису Гребнера.
Я почав використовувати цей метод 17 років тому для різних прикладів, у тому числі дуже складних.
У 1964 році аналогічна концепція для локальних кілець була розроблена Хейсуке Хіронакой, який отримав премію Філдса в 1970 році. Він назвав введені системи поліномівстандартним базисом.
Поняттябази Гребнерабуло введено в 1965 році австрійським математиком Бруно Бухбергером, колишнім студентом Гребнера. Бухбергер запропонував конструктивну процедуру побудови базису Гребнера у вигляді ефективного комп'ютерного алгоритму, який згодом отримав назву Алгоритма Бухбергера (англ.).