Cos2x sinx – cosx
Вітаю! Допоможіть вирішити тригонометричне рівняння cos2x = sinx – cosx. Дякую за допомогу! Дуже на неї сподіваюсь!
При розв'язанні тригонометричних рівнянь типу cos2x = sinx - cosx насамперед потрібно спробувати привести всі його члени до одного аргументу. Як видно з нашого рівняння, воно містить два види аргументів: х та 2х. Проаналізуємо тригонометричні функції, що містять ці аргументи. Тригонометричних функцій з аргументом х всього дві, а з аргументом 2х - одна. Причому косинус функцію від 2х можна записати через тригонометричні функції від х. Для цього використовуємо формулу подвійного кута. Підставивши значення косинуса 2х, запишемо:
Ліва частина рівняння містить різницю квадратів, яку розкриємо за формулами скороченого множення, і перенесемо всі члени рівняння в одну з частин рівняння, після чого візьмемо складові з правої частини до дужок, поставивши перед ними знак «плюс»:
Розглянувши рівняння, бачимо, що в обох доданків можна винести за дужки різницю функцій косинус та синус:
Отримали, що добуток двох виразів у дужках дорівнює нулю. А це можливо лише в тому випадку, коли або один, або другий множник дорівнюватиме нулю. Першим рівнянням буде:
Коріння першого рівняння можна одержати, побудувавши графіки обох функцій синус та косинус. Точка, в якій вони перетнуться, і буде його рішенням. Отримаємо:
Знайдемо рішення наступної рівності:
Ответ. Коріння рівняння чи x, r — ціле число.