Доказ - Студопедія
Ні в єгипетських, ні в вавилонських текстах ми не знаходимо нічого, що хоча б віддалено було схоже на математичний доказ. Поняття про доказ ввели греки, і це є їхньою найбільшою заслугою. Якимись навідними міркуваннями при отриманні нової формули люди, очевидно, користувалися і раніше, ми навіть наводили приклад грубо неправильної формули (для площі неправильних чотирикутників у єгиптян), явно отриманої із зовні правдоподібних «загальних міркувань». Але тільки греки стали ставитися до цих навідних міркувань з тією серйозністю, на яку вони заслуговують, стали аналізувати ці міркування з точки зору їх переконливості і запровадили принцип, згідно з яким кожне твердження, що стосується чисел і фігур(формула), за винятком лише небагатьох, має бути доведено, виведено переконливим, не допускаючим сумнівів чином із цих «цілком очевидних» істин. Не дивно, що саме греки з їхнім демократичним суспільним устроєм створили вчення про математичний доказ. Суперечки та доказ відігравали найважливішу роль у житті громадян грецького міста-держави (поліса). Поняття про доказ вже існувало, воно було суспільно значущою реальністю. Залишилося тільки перенести його в область математики, що й було зроблено, щойно греки познайомилися з досягненнями древніх східних цивілізацій. Зіграло тут роль, мабуть, і те становище молодого допитливого учня, в якому опинилися греки по відношенню до єгиптян і вавилонянам - своїм старшим і не завжди згодним один з одним вчителям. Справді, вавилоняни визначають площу кола за формулою 3r2 , а єгиптяни за формулою ( 8 /9 2r) 2 . Де ж правда? Тут є про що подумати та посперечатися.
Творцієгипетської та вавілонської математики залишилися безіменними. Греки зберегли імена своїх мудреців. Перше з них - ім'я Фалеса Мілетського - є також першим ім'ям, яке увійшло в історію науки. Фалес жив у VI ст. до зв. е. в Мілет на Малоазіатському узбережжі Егейського моря. Одна дата з життя встановлена твердо: в 585 р. до зв. е. він передбачив сонячне затемнення. Цей факт, до речі, незаперечно свідчить про знайомство Фалеса з культурою стародавніх цивілізацій, бо, щоб встановити періодичність затемнень, потрібний досвід десятків і сотень років. Так як у Фалеса був грецьких попередників, міг запозичувати свої знання з астрономії лише в учених Сходу.
Мал. 10.1. Рівнобедрений трикутник
Фалес, як стверджують греки, дав світові перші математичні докази. Серед доведених ним положень (теорем) називають такі:
Діаметр поділяє коло на дві рівні частини.
Кути при основі рівнобедреного трикутника рівні.
Два трикутники, які мають однакові сторони і прилеглі до неї кути, рівні.
Крім того, він перший дав побудову кола, описаного навколо прямокутного трикутника (і на честь цього відкриття, як то кажуть, приніс у жертву бика).
Найпростіший характер зазначених теорем, їхня інтуїтивна очевидність показують, що Фалес повністю усвідомлював значення доказу як такого. Ці теореми, явно доводилися не тому, що були сумніви в їхній істинності, а з метою започаткувати систематичне знаходження доказів, розробити техніку докази. Маючи таку мету, природно починати з доказу найпростіших речень.
Нехай трикутникABCрівнобедрений (рис. 10.1), тобто сторонаABдорівнює стороніBC. Розділимо кутABCлінієюBDна дві рівні частини. Перегнемо подумки наше креслення по лініїBD. Так як кутABDдорівнюєCBD, лініяBAляже на лініюBC, а так як довжини відрізківABіBCрівні, точкаAляже на точкуC. Оскільки точкаDзалишається на місці, кутиBCDіBADповинні дорівнювати. Якщо раніше нам тількиздавалося,що кутиBCDіBADоднакові (так, ймовірно, говорив своїм співгромадянам Фалес), то тепер ми довели, що ці кути необхідно і з абсолютною точністю повинні бути рівними (тоді говорили «подібні») один одному, тобто поєднуватися при накладенні.
Завдання на побудову складніше, тут результат зовсім не очевидний заздалегідь. Намалюємо прямокутний трикутник (рис. 10.2). Чи можна провести коло так, щоб усі три вершини трикутника опинилися за ним? І як це зробити? Не ясно. Але припустимо, що інтуїція нагадує нам рішення. Розділимо гіпотенузуBCточкоюDна два рівні відрізки. З'єднаємо її з точкою A. Якщо відрізокADдорівнює за величиною відрізкуDC(а отже, іBD), то ми легко проведемо необхідне коло, поставивши ніжку циркуля у точкуDі взявши радіусом відрізокDC. Але чи правда, щоAD=DC, тобто трикутникADCрівнобедрений? Не ясно. Це виглядає правдоподібно, але принаймні далеко не очевидно.
Мал. 10.2. Побудова кола, описаного навколо прямокутного трикутника
Тепер зробимо вирішальний крок. Доповнимо трикутник точкоюEдо прямокутникаABECі проведемо в ньому другу діагональAE. І раптово стає очевидною рівнобедреність трикутникаADC. Справді, із загальної симетрії креслення ясно, що діагоналі рівні та перетинаютьсяу точці, яка ділить їх навпіл, т. е. у точціD.Це ще доказ, але вже рівень ясності, коли формальне завершення докази не становить труднощів. Наприклад, спираючись на рівність протилежних сторін прямокутника (яке за бажання можна вивести з ще більш очевидних положень), ми завершимо доказ наступним міркуванням: трикутникиABCіAECрівні, оскільки сторонаACвони загальна, сторониABіЕСрівні, а кутиBACіЕСАпрямі; отже, кутЕАСдорівнює кутуBCA, тобто трикутникADCрівнобедрений, що й потрібно довести.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно