Дослідницька робота на тему Метод подібності
МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК ШКОЛЬНИКІВ КРИМУ
РОЗДІЛ Ι. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ……………………………4
Ι. 2. Властивості перетворення подоби…………………………………..5
Ι.4. Ознаки подоби трикутників…………………………………. 7
Ι.5. Властивості хорд і січучих кола………………………………8
Ι.6. Властивість бісектриси кута трикутника……………………………….10
РОЗДІЛ ΙΙ. ЗАСТОСУВАННЯ ПОДОБИ ………………………………. 12
ΙΙ.1. Завдання на доказ…………………………………………. 12
ΙΙ.2. Завдання на обчислення………………………………………………. 17
ΙΙ.3. Завдання на побудову…………………………………………………20
ΙΙ.4. Завдання на исследование………………………………………………23
Список використаної литературы……………………………………..30
Вивчення геометрії має забезпечити формування та розвиток просторового мислення, інтуїцію на образи, конструкції, методи, властивості; розвиток геометричних умінь та навичок; вміння аналізувати та синтезувати, конструктивно-геометричні, обчислювальні навички, вміння проводити доказові міркування тощо.
Необхідно звернути увагу до вибір методів і прийомів розв'язання завдань, оскільки у процесі розв'язання геометричних завдань розвиваються геометричні вміння і навички. Одним із таких методів є метод геометричних перетворень, зокрема, метод подібності.
Використовуючи подібність, можна створити наочні моделі багатьох процесів і простежити їх перебіг у часі. Подібність дозволяє встановити та дослідити функціональну залежність між різними величинами. За допомогою подібності вдається вирішувати багато наукових та інженерних завдань, вирішення яких аналітичним шляхом часто призводить до використання надзвичайно громіздкого математичного апарату.
Перетворення площини в багатьох випадках дозволяють економно і витончено вирішувати задачіпобудова, обчислення та доказ.
Об'єкт дослідження: подібність як метод розв'язання геометричних завдань.
Цілі дослідження: запропонувати систему завдань застосування подібності як методу розв'язання задач.
Завдання дослідження: вивчити та систематизувати літературу з цього питання, навести приклади завдань, які вирішуються за допомогою подібності.
РОЗДІЛ Ι. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ
Ι.1. Основні визначення
Перетворення фігури F у фігуру F 'називається перетворенням подібності,якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в те саме число разів (рис. 1). Це означає, що якщо довільні точки X, Y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки X', Y' фігури F', то X' Y'=kXY,причому число k — те саме для всіх точок X, Y.Число k називається коефіцієнтом подібності.При k = l перетворення подібності, очевидно, є рухом. [9,173]
Нехай F – дана фігура та О – фіксована точка (рис. 2). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і відкладемо у ньому відрізок ОХ', рівний k·OX, де k — позитивне число. Перетворення фігури F, у якому кожна її точка X перетворюється на точку X', побудовану зазначеним способом, називається гомотетією щодо центру Про. Число k називається коефіцієнтом гомотетії, фігури F і F' називаються гомотетичними.
Гомотетія є перетворенням подоби
Доведення. Нехай О - центр гомотетії, k - Коефіцієнт гомотетії, X і Y - дві довільні точки фігури (рис.3)
П [pic] [pic] [pic] [pic] ри гомотетії точки X і Y перетворюються на точки X' і Y ' на променях ОХ і OY відповідно, причому OX' = k·OX, OY' = k·OY. Звідси випливають векторні рівності ОХ' = kOX, OY' = kOY.
[pic] [pic] [pic] [pic] Віднімаючи цірівності, отримаємо: OY '- OX' = k (OY - OX).
Т [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] бо OY' - OX'= X'Y', OY -OX=XY, то Х ' Y ' = k Х Y . Отже, X'Y' = k XY , тобто. X'Y' = kXY. Отже, гомотетія є перетворенням подоби.
Перетворення подоби широко застосовується практично під час виконання креслень деталей машин, споруд, планів місцевості та інших. Ці зображення є подібні перетворення уявних зображень на натуральну величину. Коефіцієнт подібності у своїй називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, це означає, що одному сантиметру на плані відповідає
1 м біля.
Завдання. На малюнку 4 зображено план садиби у масштабі 1:1000. Визначте розміри садиби (довжину та ширину).
Рішення. Довжина і ширина садиби на плані дорівнюють - 4 см і 2,7 см. Оскільки план виконаний у масштабі 1:1000, то розміри садиби дорівнюють відповідно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
Ι. 2. Властивості перетворення подоби
При перетворенні подібності три точки А, В, С, що лежать на одній прямій, переходять у три точки А 1 , В 1 , С 1 також лежать на одній прямій. Причому якщо точка лежить між точками А і С, то точка В 1 лежить між точками А 1 і С 1 . Звідси випливає, що перетворення подоби переводить прямі на прямі, напівпрямі на напівпрямі, відрізки на відрізки.
Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між напівпрямими.
Дійсно, нехай кут ABC перетворенням подібності з коефіцієнтом k переводиться в кут А1В1С1 (рис. 5). Піддамо кут ABC перетворення гомотетії щодо його вершини з коефіцієнтом гомотетії k. При цьому точки А та С перейдуть у точки А 2 та С 2 . Трикутники А 2 НД 2і А 1 В 1 З 1 рівні за третьою ознакою. З рівності трикутників випливає рівність кутів А2ВС2 і А1В1С1. Отже, кути ABC і А 1 У 1 З 1 рівні, як і потрібно довести.[9,175]
Ι.3. Подібність фігур
Дві фігури називаються подібними, якщо вони перетворюються одна на одну перетворенням подібності. Для позначення подібності фігур використовується спеціальний знак:
F' читається так: «Фігура F подібна до фігури F'».
Доведемо, що якщо фігура F 1 подібна до фігури F 2 , а фігура F 2 подібна до фігури F 3 , то фігури F 1 і F 3 подібні.
Нехай Х1 і Y1 — дві довільні точки фігури F1. Перетворення подібності, що переводить фігуру F 1 F2 , переводить ці точки в точки Х 2 , Y 2 для яких X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 .
Перетворення подібності, що переводить фігуру F 2 F 3 , переводить точки Х 2 , Y 2 в точки Х 3 , Y 3 , для яких X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2 .
X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2
слід, що X3Y3 = k1k2X1Y1. А це означає, що перетворення фігури F 1 F 3 , що виходить при послідовному виконанні двох перетворень подоби, є подоба. Отже, фігури F 1 і F 3 подібні, що потрібно було довести.