Елементарні функції
Словами «елементарні функції» прийнято називати алгебраїчні багаточлени, показові, логарифмічні, тригонометричні та зворотні тригонометричні функції, а також всілякі функції, які виходять з перерахованих за допомогою арифметичних операцій та утворення складної функції. Ці функції добре вивчені, вони здавна і широко використовуються в самій математиці та різних додатках. Перше знайомство з такими функціями відбувається під час уроків елементарної математики – звідси, треба думати, і назва.
Наведений опис безлічі елементарних функцій дає підстави виділити у ньому основні елементарні функції (їх іноді називають найпростішими елементарними, але термін найпростіші може неправильно орієнтувати). До основних елементарних функцій відносяться:
а) постійна функція
f(x)c=constз областю визначенняX=R;
б) лінійна функція
в) показова функція з натуральною основою або експонента
f(x)=,X=R;
г) натуральний логарифм (тобто функція, зворотна до експоненти)
д) тригонометричні функції
f(x)=tg x, X=;
f(x)=ctg x, X=;
е) зворотні тригонометричні функції
Теорема 4.20.Кожна з основних елементарних функцій є безперервною на відповідній множиніX.
Доказ.а) Безперервність постійної функції очевидно випливає з того, що її збільшення дорівнює нулю для будь-якої точки і для будь-якого збільшення
б) Для функціїf(x)=xвиконується:
.
Тому, використовуючи визначення безперервності мовою “e-d “, достатньо покластиd=d(e)=e.
в) Безперервність експоненти встановлюється дещо складніше.
Попередньо зауважимо, що в міркуваннях використовуються добре знайомі за шкільним курсом математики алгебраїчні властивості загальної показової функції: якщо , то
, , ,
і якщо , то заu>0.
Нехай – довільно обране число. Тоді
.
Отже, докази рівності досить переконатися у цьому, що з . Інакше кажучи, довівши безперервність експоненти на нулі, ми отримаємо її безперервність у довільній точці ÎR.
Далі, враховуючи, що , залишається довести рівність
.
У розділі 3.7 було доведено, щоlimдля кожного. Тому для довільно вибраногоe >0існуєmÎN, при якому
.
Покладемоd = 0. Тоді для будь-якогоxз нерівностей0
,
.
Безперервність експонентів доведено.
г) Функціяf(x)= ln xє зворотною до безперервної (за доведеним) і строго зростаючою (очевидним) експонентом. Тому на підставі теореми 4.19 вона є безперервною.
д) Якщоf(x)=sin x,то
.
. Тому за умови безперервності мовою «e-d» можна покластиd=e.Аналогічно доводиться безперервністьf(x)= cos x.
Функціїtg xіctg xбезперервні, оскільки є відносини безперервних функцій:
.
е) Безперервність зворотних тригонометричних функцій безпосередньо випливає з теореми 4.19 оскільки звуження на проміжоквідповідних прямих функцій
g(y)=sin y,;
g(y) = cos y,;
g(y)= tg y,;
g(y) = ctg y,;
є строго монотонними (перевірте!)і, за доведеним у буд), безперервними.
Зважаючи на сказане на початку цього розділу, можна конкретизувати поняття елементарної функції.
Визначення 4.14.Клас елементарних функцій – це така множина, яка містить усі основні елементарні функції, а так само виходять з них за допомогою арифметичних операцій та операцій освіти складної функції.
Зауваження.Іноді до елементарних відносять також і функції, обернені до монотонних звуження функцій з описаного визначенням 4.14 класу.
Теорема 4.21.Кожна елементарна функція безперервна у всіх точках своєї області визначення.
Доказ.Справедливість теореми випливає з того, що, по-перше, основні елементарні функції по попередній теоремі безперервні, і, по-друге, в силу теорем 4.10 і 4.11 про безперервність суми, різниці, твори, відносини, композиції безперервних функцій. Додамо, що твердження теореми залишається справедливим й у розширеного класу елементарних функцій з урахуванням останнього зауваження.Теорему доведено.
Встановлена безперервність елементарних функцій є важливою та корисною властивістю. Доказ багатьох математичних фактів ґрунтується на використанні безперервності елементарних функцій. Для ілюстрації розглянемо два приклади, пов'язані з другою чудовою межею.
Приклад 4.8.Доведемо, що
.
Для цього скористаємося другою чудовою межею
.
Звідси слідує що
,
і, через безперервність логарифмічної функції, отримаємо необхідну рівність.
Приклад 4.9.Доведемо, що
.
Позначимо через . З безперервності експоненти випливає, щоy(x) ® 0приx ® 0.Тому
приx® 0.
На закінчення відзначимо, що елементарними функціями не вичерпується безліч «корисних» функцій. У різних питаннях математичного аналізу та математики взагалі доводиться розглядати важливі функції, які є елементарними. Такі функції зазвичай називають спеціальними.
Завдання 4.10.Доведіть, що функція Діріхле (приклад 4.3) не є елементарною.
1.1. Про предмет 3
1.2. Трохи історії 5
1.3. Про цілі цього навчального посібника 6
2. Справжні числа. Числові множини 7
2.1. Попередні зауваження 7
2.2. Аксіоматичне визначення множини дійсних чисел 8
2.3. Обговорення аксіом 1-14 та деякі наслідки з них 10
2.4. Теорема про точну нижню грань 12
2.5. Натуральні числа 14
2.6. Декілька зауважень про числові множини 17
3. Числові послідовності 18
3.1. Визначення послідовності. Числові послідовності. Приклади 18
3.2. Межа послідовності 20
3.3. Обмеженість послідовності, що збігається. Теорема про єдиність межі 23
3.4. Нерівності та граничний перехід. Лемма про двох міліціонерів 25
3.5. Монотонні послідовності 27
3.6. Нескінченно малі послідовності 30
3.7. Східність та арифметичні операції 32
3.8. Критерій Коші 35
3.9. Підпослідовності. Часткові межі 37
3.10. Нескінченно великі послідовності 41
3.11. Ще раз про числові множини 43
4. Функції однієї змінної 46
4.1. Початкові визначення. Термінологія 46
4.2. Межа функції 48
4.3. Властивості функцій, що мають межу 51
4.4. Критерій Коші існування межі функції 52
4.5. Розширення поняття межі. Односторонні межі 53
4.6. Чудові межі 55
4.7. Безперервність функції 58
4.8. Властивості безперервних функцій 61
4.9. Властивості функцій, безперервних на відрізку 62
4.10. Безперервність та точки розриву монотонної функції 66
4.11. Зворотна функція 69
4.12. Елементарні функції. Теорема про безперервність 71