Фільтр Баттерворта
Фільтр Баттерворта- один з типів електронних фільтрів. Фільтри цього класу відрізняються від інших методом проектування. Фільтр Баттерворт проектується так, щоб його амплітудно-частотна характеристика була максимально гладкою на частотах смуги пропускання.
Подібні фільтри були вперше описані британським інженером Стефаном Баттервортом у статті «Про теорію фільтруючих підсилювачів» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers), в журналі Wireless Engineer в 1930 році.
АЧХ фільтра Баттерворта є максимально гладкою на частотах смуги пропускання і знижується практично до нуля на частотах смуги придушення. При відображенні частотного відгуку фільтра Баттерворта на логарифмічній АФЧХ амплітуда знижується до мінус нескінченності на частотах смуги придушення. У разі фільтра першого порядку АЧХ загасає зі швидкістю -6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (насправді всі фільтри першого порядку незалежно від типу ідентичні і мають однаковий частотний відгук). Для фільтра Баттерворта другого порядку АЧХ загасає на -12 дБ на октаву, для фільтра третього порядку - на -18 дБ і таке інше. АЧХ фільтра Баттерворта - монотонно спадна функція частоти. Фільтр Баттерворта - єдиний з фільтрів, що зберігає форму АЧХ для більш високих порядків (за винятком більш крутого спаду характеристики на смузі придушення) тоді як багато інших різновидів фільтрів (фільтр Бесселя, Чебишева фільтр, еліптичний фільтр) мають різні форми АЧХ при різних порядках.
Порівняно з фільтрами Чебишева I і II типів або еліптичним фільтром, фільтр Баттерворта має більш пологий спад характеристики і тому повинен мати більший порядок (що складніше в реалізації) для того, щоб забезпечитиНеобхідні показники на частотах лінії придушення. Однак фільтр Баттерворта має більш лінійну фазочастотну характеристику на частотах смуги пропускання.
Як і для всіх фільтрів при розгляді частотних характеристик використовують фільтр нижніх частот, з якого легко можна отримати фільтр високих частот, а, увімкнувши кілька таких фільтрів послідовно, смуговий фільтр або режекторний фільтр.
Амплітудно-частотна характеристика фільтра Баттерворта-го порядку може бути отримана з передавальної функції:
- - Порядок фільтра
- - Частота зрізу (частота на якій амплітуда дорівнює −3dB)
- - Коефіцієнт посилення по постійній складовій (посилення на нульовій частоті)
Легко помітити, що для нескінченних значень АЧХ стає прямокутною функцією, і частоти нижче частоти зрізу пропускатимуться з коефіцієнтом посилення , а частоти вище частоти зрізу будуть повністю пригнічуватися. Для кінцевих значень спад показника буде пологим.
За допомогою формальної заміни представимо вираз у вигляді:
Полюси передавальної функції розташовані на колі радіуса рівновіддалено один від одного в лівій напівплощині. Тобто передавальну функцію фільтра Баттерворта можна визначити лише визначенням полюсів його передавальної функції у лівій напівплощині s-площини. -й полюс визначається з наступного виразу:
Передачу функцію можна записати у вигляді:
Аналогічні міркування застосовні і до цифрових фільтрів Баттерворта, з тією лише різницею, що співвідношення записуються не дляs-площини, а дляz-площини.
Знаменник цієї передавальної функції називається поліномом Баттерворт.
1.1. Нормовані поліноми Баттерворта
Поліноми Баттерворта можутьзаписуватись у комплексній формі, як показано вище, проте зазвичай вони записуються у вигляді співвідношень з речовими коефіцієнтами (комплексно-сполучені пари об'єднуються за допомогою множення). Нормуються поліноми за частотою зрізу: . Нормовані поліноми Баттерворта, таким чином, мають таку канонічну форму:
Нижче наведені коефіцієнти поліномів Баттерворта для перших восьми порядків: