Фрактали - нова галузь математики
1. Класичні фрактали
1.1 Сніжинка Коха
1.2 Серветка та килим Серпінського
3. Практичне застосування фракталів
Запровадження (актуальність теми)
Коли більшості людей здавалося, що геометрія в природі обмежується такими простими фігурами, як лінія, коло, конічний переріз, багатокутник, сфера, квадра
тична поверхня, а також їх комбінаціями. Наприклад, що може бути красивішим твердження про те, що планети в нашій сонячній системі рухаються навколо сонця по еліптичних орбітах?
Однак багато природних систем настільки складні і нерегулярні, що використання лише знайомих об'єктів класичної геометрії для їх моделювання є безнадійним. Як, наприклад, побудувати модель гірського хребта чи крони дерева у термінах геометрії? Як описати те різноманіття біологічних змін, яке ми спостерігаємо у світі рослин та тварин? Уявіть собі всю складність системи кровообігу, що складається з безлічі капілярів і судин і доставляє кров до кожної клітини людського тіла. Уявіть, як хитромудро влаштовані легені та нирки, що нагадують за структурою дерева з гіллястою кроною.
Такою ж складною і нерегулярною може бути і динаміка реальних природних систем. Як підійти до моделювання каскадних водоспадів або турбулентних процесів, що визначають погоду?
Фрактали та математичний хаос --- відповідні засоби для дослідження поставлених питань. Термін фрактал відноситься до деякої статичної геометричної конфігурації, такої як миттєвий знімок водоспаду. Хаос --- термін динаміки, що використовується для опису явищ, подібних до турбулентної поведінки погоди. Нерідко те, що ми спостерігаємо в природі, інтригує нас нескінченним повторенням того самоговізерунка, збільшеного або зменшеного скільки завгодно разів. Наприклад, дерево має гілки. На цих гілках є менші гілки і т.д. Теоретично, елемент «розгалуження» повторюється нескінченно багато разів, стаючи дедалі менше. Те саме можна побачити, розглядаючи фотографію гірського рельєфу. Спробуйте трохи наблизити зображення до гірської гряди --- ви знову побачите гори. Так проявляється характерна для фракталів властивість самоподібності.
У багатьох роботах по фракталах самоподібність використовується як визначальна властивість. Наслідуючи Бенуа Мадельброту, ми приймаємо точку зору, згідно з якою фрактали повинні визначатися в термінах фрактальної (дрібної) розмірності. Звідси і походження слова фрактал (від латів. fractus --- дробовий).
Поняття дробової розмірності є складною концепцією, яка викладається у кілька етапів. Пряма -- це одновимірний об'єкт, а площина -- двомірний. Якщо добре перекрутивши пряму і площину, можна підвищити розмірність отриманої конфігурації; при цьому нова розмірність зазвичай буде дробовою у певному сенсі, який нам належить уточнити. Зв'язок дробової розмірності та самоподібності полягає в тому, що за допомогою самоподібності можна сконструювати безліч дробової розмірності найпростішим чином. Навіть у випадку набагато складніших фракталів, таких як межа множини Мандельброта, коли чиста самоподібність відсутня, є майже повне повторення базової форми в дедалі більш зменшеному вигляді.
1.1 Сніжинка Коха
На початку ХХ століття математики шукали такі криві, які у жодній точці не мають дотичної. Це означало, що крива різко змінює свій напрямок, і до того ж з колосально великою швидкістю (похідна дорівнює нескінченності). Пошуки даних кривих буливикликані не просто пустим інтересом математиків. Справа в тому, що на початку ХХ століття дуже бурхливо розвивалася квантова механіка. Дослідник М.Броун замалював траєкторію руху зважених частинок у воді і пояснив це явище так: атоми рідини, що безладно рухаються, ударяються об зважені частинки і тим самим наводять їх у рух. Після такого пояснення броунівського руху перед вченими постало завдання знайти таку криву, яка б найкраще апроксимувала рух броунівських частинок. Для цього крива мала відповідати наступним властивостям: не мати дотичної в жодній точці. Математик Кох запропонував одну таку криву. Ми не будемо вдаватися до пояснення правила її побудови, а просто наведемо її зображення, з якого все стане зрозумілим (рис.1.1.1).
Рис 1.1.1.Сніжинка Коха.
Мал. 1.1.2.Побудова сніжинки Коха.
використовував фрактальну криву, що нагадує межу сніжинки за винятком, що в неї введений елемент випадковості, що враховує випадковість у природі. В результаті виявилося, що крива, що описує берегову лінію, має нескінченну довжину.
1.2 Серветка та килим Серпінського
Ще один приклад простого самоподібного фракталу -- серветка Серпінського (рис. 1.2.1), придуманий польським математиком Вацлавом Серпінським у 1915 році. Сам термін серветка належить Мандельброту. У способі побудови наступного нижче ми починаємо з деякої області і послідовно викидаємо внутрішні підобласті. Пізніше ми розглянемо інші способи, зокрема з використанням L-систем, а також на основі ітерованих функцій.
Рис 1.2.1.Серветка Серпінського
Нехай початкова множина S0 --- рівносторонній трикутник разом з областю,яку він замикає. Розіб'ємо S0 на чотири менші трикутні області, з'єднавши відрізками середини сторін вихідного трикутника. Видалимо нутро маленької центральної трикутної області. Назвемо безліч S1, що залишилася (рис. 1.2.2). Потім повторимо процес для кожного з трьох маленьких трикутників, що залишилися, і отримаємо наступне наближення S2. Продовжуючи таким чином, отримаємо послідовність вкладених множин Sn, перетин якого утворює серветка S.
Мал. 1.2.2.Побудова серветки Серпінського
Очевидно, що сумарна площа частин, викинутих при побудові, точно дорівнює площі вихідного трикутника. На першому кроці ми викинули ¼ частину площі. На наступному кроці ми викинули три трикутники, причому площа кожного дорівнює ¼ 2 площі вихідного. Розмірковуючи таким чином, ми переконуємось, що повна частка викинутої площі склала: