Голка та ймовірність • Євген Єпіфанов • Науково-популярні завдання на «Елементах» • Математика
Площина розкреслена паралельними прямими. Відстань між будь-якими двома сусідніми прямими дорівнює 1. На площину падає голка фіксованої довжиниl(l≤ 1).
Знайдітьймовірність, з якої голка перетне хоча б одну з прямих (тобто має спільні точки хоча б з однією з прямих). Вважаємо, що голка не має товщини (є просто відрізок) і що вона падає і лежить на площині плашмя, а не встромляється в неї.
Підказка 1
Що розуміється під ймовірністю певної події?
1.Спочатку домовимося, що ми розумітимемо підподією. Нехай ми проводимо серію однакових дослідів — випробувань, у кожному з яких одні й самі початкові умови і результат чергового випробування ніяк не залежить від результатів попередніх. Хрестоматійні приклади: підкидання «ідеальної» монетки, кидання «ідеального» грального кубика. Або, як у нас у завданні, — кидання голки на площину.
Кожен випробування має різніелементарні результати. Наприклад, випадання числа від 1 до 6 у прикладі з кубиком.Подієюназивається якесь підмножина безлічі елементарних результатів. Наприклад, "випадання 2". Або «випадання непарного числа» (тобто випадання 1, 3 чи 5). Можна розглядати складніші випробування, на кшталт підкидання п'яти монеток. Тут елементарними наслідками будуть такі: «випало п'ять орлів», «випало чотири орли та одна решка», і так далі. Як події можна розглянути, наприклад, таке: «випало щонайменше трьох орлів».
У нашому завданні випробування – це одне кидання голки, а потрібна нам подія – це перетин хоча б однієї лінії.
2.Підімовірністю подіїможна розуміти відношення числа сприятливих для цієї подіїрезультатів до всіх можливих результатів (звідси виходить, що ймовірність - це завжди число від 0 до 1). Наприклад, ймовірність події «випадання непарного числа» при киданні одного кубика дорівнює 1/2, тому що підходить рівно половина від усіх можливих наслідків. Імовірність події «випало не менше трьох орлів» при киданні 5 монет також дорівнює 1/2.
Таке визначення ймовірності відмінно працює, коли безліч можливих наслідків звичайно. Але в нашому завданні нескінченно багато результатів — положень голки, що впала. Та й слушних результатів теж нескінченно багато. Як же бути? Трохи підкоригуємо наше «визначення»:імовірність події— це частка, яку сприятливі наслідки «займають» у багатьох результатах. З таким «визначенням» вже можна порахувати ймовірність, що необхідна в задачі.
Чесно кажучи, все сказане вище є "поясненням на пальцях", і це не можна розглядати з усією математичною строгістю. Але для наших цілей такого підходу цілком достатньо.
3.Для ясності ще один приклад. Розглянемо квадрат, і з'єднаємо в ньому середини двох сусідніх сторін відрізком, таким чином відсікаючи куточок. Після цього випадково тикатимемо голкою в квадрат. З якою ймовірністю ми потрапимо всередину куточка? Тут результат кожного випробування - те, куди потрапив кінець голки, тобто одна точка всередині квадрата. Зрозуміло, що наслідків нескінченно багато і що відповідних нашій події наслідків — попадання у куточок — теж нескінченно багато. Тому про кількість результатів для обчислення можливості міркувати вже безглуздо. Натомість частку можна обчислити — це просто відношення площ куточка та квадрата. Воно дорівнює 1/8. Зауважимо, що межі фігур мають нульову площу, тож про них можна не думати. Зокрема, у відрізок, що відсікав куточок, голкапотрапить із ймовірністю 0.
Підказка 2
Останній приклад із першої підказки може дати натяк на можливий шлях розв'язання задачі. Потрібно ввести параметри, які визначали б положення голки і дозволяли б описати всі випадки, коли вона перетинає лінії. Двох параметрів тут цілком достатньо. Після цього потрібно зрозуміти, які значення можуть приймати ці параметри і які значення описують нашу подію. Якщо вибрати параметри вдало, то ці умови будуть досить простими і їх можна буде навіть зобразити: взяти координатну площину, у якої осі відповідають параметрам, і намалювати область, точки якої задовольняють отриманим умовам. Після цього залишиться лише порахувати площу всієї області та площу тієї її частини, яка відповідає перетину голки та ліній. А потім знайти ставлення цих площ.
Умовимося, що прямі умови йдуть горизонтально. Ось ми кинули голку на площину. Як описати її розташування, щоб було зручно враховувати перетин з прямими? Зауважимо своєрідну симетрію: нам не так і важливо, на яку саме (або які, якщо їх дві) смугу між прямими впаде голка — смужки всі однакові. Також ясно, що зрушення горизонталлю теж ні на що не впливають. А ось що справді важливо — це як «далеко» голка лежить від прямих і під яким кутом вона нахилена до них. Тому як параметри з другої підказки можна взяти кут нахилу α голки до прямих і відстаньdвід середини голки донайближчоїпрямої (рис. 1). Таким чином ми використовуємо ще одну «симетрію», що виникла в задачі.
Які значення можуть набувати ці параметри? Радіанний захід кута α змінюється від 0 до π, аdприймає значення від 0 (якщо середина голки потрапила на пряму) до 1/2 (далі середина голки відпрямих не може). На площині з координатами (α,d) ці обмеження задають прямокутник (рис. 2).
З малюнка 3 видно, за якої умови на α іdголка перетинає хоча б одну пряму: проекція половини голки на напрямок, перпендикулярне до прямого, повинна бути більшою заd. Тобто має виконуватися нерівність.
Ось ми й отримали опис усіх випадків, коли голка перетинає хоча б одну пряму (перетин з двома прямими буде тільки якщо одночасно виконані рівності α = π/2 іd= 1/2, що може дати всього одну точку в нашому прямокутнику - нескінченному множині всіх можливих значень пари параметрів). Залишилося обчислити площу під графіком синусоїди та розділити її на площу всього прямокутника, що дорівнює π/2 (рис. 4).
У результаті отримуємо, що ймовірність дорівнює .
Післямова
Вважається, що це завдання вперше поставив і досить докладно дослідив французький вчений XVIII століття граф де Бюффон — досить неординарна людина з дуже широким колом інтересів, яка зробила чимало корисного в різних галузях знань. Тому часто її називають завданням про голку Бюффона. Очевидно, це було перше завдання так звану геометричну ймовірність. Як ми бачили, суть такого підходу полягає в тому, щоб уявити безліч елементарних результатів якогось випробування у вигляді геометричної фігури та звести питання про знаходження ймовірності тієї чи іншої події до обчислення відношення площ відповідних фігур. У такий спосіб можна вирішити ще кілька досить відомих завдань — можливо, з деякими з них ви познайомитеся згодом тут, на «Елементах». Тому наведемо як вправу лише одне нескладне завдання:
З якою ймовірністю кругла монета діаметра d,кинута на картату площину (розбиту на одиничні квадратики), не покриє жодну з ліній сітки, тобто цілком виявиться всередині якогось із квадратів?
Зазначимо, що, вирішуючи завдання Бюффона, можна міркувати і трохи інакше. Докладно хід такого рішення описаний (щоправда, англійською) тут.
Тепер трохи від того, в чому полягає сенс отриманої відповіді. Приl=1відповідь приблизно дорівнює 0,6366197. Що саме представляє це число? Як завжди, теоретично ймовірностей розуміти це потрібно так. Припустимо, ми зробили дуже тривалу серію випробувань. Скажімо, нам вистачило терпіння у кожному випробуванні кидати голку мільйон разів і запам'ятовувати, скільки разів вона перетнула прямі лінії на площині. І таких випробувань ми також провели мільйон. Виявиться, що в більшості з них (швидше за все, переважна) кількість перетинів близько до 636 619. І чим більше ми будемо проводити таких випробувань, тим ближче буде частка успішних результатів (коли голка перетнула лінію) до . І насправді, звичайно, тут зовсім не важливо, як підрозділяти випробування на серії — важлива лише загальна кількість. Насправді проводити такі тривалі серії випробувань терпіння не вистачить. Але можна написати програму (або скористатися вже існуючими типу цієї), яка б виконувала рутинні операції та видавала лише кількість перетинів для великої кількості кидків.
Сказане у попередньому абзаці дає незвичайний підхід до важливого завдання точного обчислення числа π = 3,1415926. Нагадаємо, що це число визначається як відношення довжини кола до його діаметра (для всіх кіл це відношення однаково). Число π — одна з основних констант у математиці та фізиці. Почасти це можна пояснити тим, що кола та еліпси виникають у математиці та фізиці в самихрізних задачах і моделях - від чисто геометричних до практичних на кшталт розрахунків орбіт планет та супутників. Тому важливо вміти досить точно обчислювати значення π. Відомо, що це число ірраціональне, тобто його не можна уявити у вигляді раціонального дробу (відносини двох цілих чисел), але є близькі до нього дроби з невеликими знаменниками. Ще Архімеду було відомо, що дріб 22/7 = 3, (142857) наближає π з точністю до тисячних. Приблизно у V столітті зв. е. вже було відоме наближення 355/113 = 3,14159292. - Похибка менше однієї мільйонної.
До чого ж тут голка Бюффона? Як ми вже розуміємо, у тривалій серії випробувань частка перетинів від загальної кількості кидків голки приблизно дорівнює 2/π. Тому ми можемо емпірично знайти цю частку та обчислити приблизне значення. Чим більше кидків, тим точніше буде частка, отже, і значення π. У ХІХ столітті перебували герої, готові витратити кілька вечорів таке заняття. Вони виходили різні значення близько 3,14. Докладніше можна прочитати на цій сторінці в англійській Вікіпедії.
Нині, звісно, ніхто голку не кидає, а число π обчислено вже далеко за 10 трильйонів знаків. Забавно, що така точність і близько не потрібна для практичних обчислень - за оцінками, достатньо знати приблизно до 40-го знака після коми, щоб точно розрахувати обсяг видимого Всесвіту з точністю до одного атома. Так що обчислення π з такою точністю — це скоріше гонка за рекордами та змагання суперкомп'ютерів.
Точні обчислення ґрунтуються на різних формулах. В основному, використовуються послідовності, що сходяться до π, і підсумовування рядів, багато алгоритмів можна знайти у Вікіпедії. Тут наведемо лише чудову формулу
яка дозволяє обчислити будь-яку цифру числа π, не обчислюючирешта цифр.