Гомеоморфні різноманіття

Відображення одного різноманіття в інше називається гомеоморфізмом, якщо воно встановлює між ними взаємно-однозначну відповідність, безперервну в обидві сторони. При цьому розглянуті різноманіття називаються гомеоморфними гомеоморфними. Гомеоморфні різноманіття мають однакову розмірність і можуть бути замкненими лише одночасно.

Класифікація різноманіття щодо гомеоморфізмів є одним з основних завдань топології -

найважливішого розділу сучасної математики. Це завдання дуже важке і у великих розмірностях не вирішено досі. Класифікація різноманіття малих розмірностей була відома математикам ще XIX в. А саме, замкнуте 0-мірне різноманіття є кінцевим набором точок, що ізольовано лежать. Замкнене одновимірне різноманіття гомеоморфному об'єднанню кінцевого числа кіл, що попарно не перетинаються. Замкнуті двовимірні різноманіття гомеоморфні підмноутворення $R^4$. Частина їх гомеоморфна подмногообразиям в $R^3$, інші ж гомеоморфны ніяким різноманіттям, які у тривимірному евклидовом просторі. Далі описані всі двовимірні замкнуті підрізноманіття $R^3$.

Найпростішим таким різноманіттям єсфера. Інші виходять із сфери наступної конструкцією. Уявимо, що сфера зроблена з якогось пластичного матеріалу, наприклад, з пластиліну. Проробимо в ній 2g отворів, розіб'ємо ці отвори на пари і приліпимо до країв отворів кожної пари краю трубки, виготовленої з такого ж матеріалу (всього потрібно g трубок). Згладивши лінії з'єднання, ми отримаємо замкнуте двовимірне різноманіття, зване сферою з g ручками (рис. справа).

Звичайну сферу вважатимуться сферою з g=0 ручками. Сфера з однією ручкою гомеоморфнатору - всім відомої поверхні бублика(Рис. зліва). Дві сфери з ручками гомеоморфні, якщо вони мають однакову кількість ручок. Так ось виявляється, що будь-яке замкнуте двовимірне різноманіття в $R^3$ гомеоморфно об'єднанню кінцевого числа попарно непересічних сфер з ручками (кількість ручок у кожної сфери своє).

Розглянемо сферу з ручками докладніше. Вона, очевидно, єзв'язковим різноманіттям. Це означає, що з будь-якої точки різноманіття можна потрапити в будь-яку іншу його точку, переміщаючись різноманіттям вздовж деякої безперервної кривої (тобто за образом відрізка при його безперервному відображенні різноманіття). Зв'язне подмногообразие в $R^n$ називається однозв'язним, якщо будь-яку петлю на подмногообразии (тобто. безперервну криву, кінці якої збігаються) можна безперервною деформацією перетягнути по різноманіттю всередину кулі скільки завгодно малого радіуса з центром у будь-якій точці цього різноманіття.

Візуально видно, що звичайна сфера $R^3$односвязна, а сфера, що має хоча б одну ручку, не є однозв'язковою: ніякою безперервною деформацією по сфері з g (g>0) ручками не можна перетягнути петлю, що охоплює приліплену ручку, всередину кулі досить малого радіусу (меншого радіусу кулі, вільно переміщується всередині приліплених ручок).

---