Гомоморфізми груп, кілець, полів
Визначення 1.8.Якщо (A,+,) та (B, , )–кільця, то відображення:ABназиваєтьсягомоморфізмом кілець, якщо воно зберігає обидві операції, тобто.
Визначення 1.9.Ін'єктивні гомоморфізми називаютьмономорфізмамиабовкладеннями, сюр'єктивні гомоморфізми -епіморфізмамиабонакладеннями, а бієктивні -ізоморфізми.
Визначення 1.10.Якщо існує гомоморфізм груп або кілець: АB, то групи або кільцяА,Вназиваютьізоморфними.
Сенс ізоморфізму полягає в тому, що він встановлює таку відповідність між елементами ізоморфних об'єктів, що показує, що з точки зору алгебраїчних операцій, що зберігаються, ізоморфні об'єкти невиразні.
2.Одиничнийабонульовийепіморфізм: якщоE=e>–одноелементний об'єкт (одинична група або нульове кільце), то для будь-якої групи (A, ) або кільця визначено епіморфізм О:AE, xAО (x)=e.
3.Природні вкладення груп та кілець:ZQRC.
Властивості гомоморфізмів
60. Якщо : u V і : V w – два гомоморфізми груп або кілець, то їх композиція ○ : u w буде гомоморфізмом груп чи кілець.
70. Якщо : V w – ізоморфізм груп або кілець, то зворотне відображення –1 : w V також є ізоморфізмом груп чи кілець. Поняття та ідея ізоморфізму в сучасній математиці
Ізоморфізм (або ізоморфність) – одне з основних понять сучасної математики. Два однотипні математичні об'єкти (або структури) називаються ізоморфними, якщо існуєвзаємно однозначне відображення однієї з них іншою, таке, що і зворотне щодо нього зберігають будову об'єктів, тобто. елементи, які перебувають у певному відношенні, перетворюються на елементи, що у відповідному відношенні.
Ізоморфні об'єкти можуть мати різну природу елементів і відносин між ними, але вони абсолютно однаково абстрактно влаштовані, є копіями один одного. Ізоморфізм є «абстрактна рівність» однотипних об'єктів. Наприклад, адитивна група класів відрахувань за модулем n ізоморфна мультиплікативної групи комплексних коренівn-ого ступеня з 1.
Ставлення ізоморфності будь-якому класі однотипних математичних об'єктів, будучи ставленням еквівалентності, розбиває вихідний клас об'єктів на класи ізоморфності – класи попарно ізоморфних об'єктів. Вибираючи в кожному класі ізоморфність по одному об'єкту, ми отримуємо повний абстрактний огляд даного класу математичних об'єктів. Ідея ізоморфізму полягає у поданні або описі об'єктів даного класуз точністю до ізоморфізму.
Для кожного даного класу об'єктів існує проблема ізоморфізму. Чи ізоморфні два довільні об'єкти з даного класу? Як це з'ясовується? Для підтвердження ізоморфності двох об'єктів, як правило, будується конкретний ізоморфізм між ними. Або встановлюється, що обидва об'єкти ізоморфні деякому третьому об'єкту. Для перевірки неізоморфності двох об'єктів достатньо вказати абстрактну властивість, якою володіє один з об'єктів, але не має іншої.
МЕТОДИКА 11.Ю.М.Колягін розрізняє два види позакласної роботи з математики.
p align="justify"> Робота з учнями відстають від інших у вивченні програмного матеріалу, тобто. додаткові заняття з математики.
Робота з учнямивиявляють інтерес до математики.
Але можна назвати ще й третій вид роботи.
Робота з учнями щодо розвитку інтересу у вивченні математики.
Існують такі форми позакласної роботи: