Градієнт функції та його геометричний зміст, ПріМат

Перш ніж приступати до прочитання цієї статті, я раджу ознайомитися з темою Похідна за напрямом

Визначення

Припустимо, що i, j і k - координатні орти , то $ $ nabla \ varphi = i \ frac + j \ frac + k \ frac $ $ Припустимо, що вектор і є одиничним вектором. Тепер ми можемо записати формулу для похідної функції за напрямом вектора за допомогою градієнта : $$\frac = \cos\alpha \frac + \cos\beta \frac + \cos\gamma\frac = (l,\nabla\varphi)$ $ і як ми говорили раніше, що в єдиний вектор, отже ми маємо $$\frac=\left \nabla\varphi \right \cos\delta $$ ($\delta$ - кут освічений вектором і не важко побачити з цієї формули, що якщо в даній точці $$\left \nabla\varphi \right ^=\left ( \frac \right )^+\left ( \frac \right )^+\left ( \frac \right )^\neq 0.$$

У трьох мірному просторі градієнт має хорошу геометричну інтерпретацію, градієнт це вектор у якому похідна досягає максимуму тільки тоді, коли $ \ cos \ varphi = 1 $. Тепер зрозуміло, що градієнт залежить від вибору системи координат і визначається самою функцією. Ми можемо сміливо сказати, що якщо градієнт дорівнює нулю в одній декартовій системі координат, він дорівнює нулю в кожній подібній системі координат. А якщо градієнт не дорівнює нулю, то його незалежність від вибору декартової системи координат випливає з його геометричного сенсу.

---