ГРИНА ФОРМУЛИ
ГРИНА ФОРМУЛИ - формули інтегрального обчислення функцій багатьох змінних, що зв'язують значення n-кратного інтеграла по області D n-вимірного евклідова простору Е n і (n-1)-кратного інтеграла по шматково гладкій межі ∂D = T цієї області. Р. ф. виходять інтегруванням частинами інтегралів від дивергенції векторного поля, безперервного в D = D + Г і безперервно диференційованого в D.
У найпростішій Р. ф.
криволінійний інтеграл по контуру Г виражається через подвійний інтеграл по ділянці D ⊂ E 2 . У цьому область D орієнтується природним чином, але в межі Р береться індукована орієнтація, відома як обхід проти годинникової стрілки. Формула (1) має простий гідродинаміч. сенс: потік через межу області Р рідини, що тече по площині зі швидкістюv= (Q, -Р), дорівнює інтегралу області D від інтенсивності (дивергенції) divv= ∂Q /∂x - ∂P/∂y розподілених у D джерел та стоків. У цьому сенсі Р. ф. (1) подібна до Остроградської формули (див. також Стокса формула).
Формула (1) іноді зв. іменами К. Гаусса (С. Gauss) та Б. Рімана (В. Riemann). Жодна з вживаних назв не є історично вірною: формула (1) зустрічалася ще в роботах з аналізу 18 ст. - У Л. Ейлера (L. Euler) та ін.
Дж. Грін [1] належать наступні Р. ф. потенціалу теорії
- Підготовча Р. ф. і
де D - область E 3, х = (х 1, х 2, х 3), dx = dx 1 dx 2 dx 3 - елемент об'єму G, ds - елемент площі Г, N = (N1, N2, N3) - одинична зовнішня (ко)нормаль до Р,
- оператор диференціювання у напрямку (ко)век-тора N, а
Формули (2), (3) справедливі й у разі, коли D є область Е n , х = (х 1 , . х n ), dx = dx 1 . dx n – елемент об'єму D, ds – елемент (n-1)-мірного об'єму Г, а
- ОператорЛапласа із n незалежними змінними. Узагальнення Р. ф. (2) та (3) для лінійних диференціальних операторів з приватними похідними з досить гладкими коефіцієнтами мають вигляд:
- (речовинно) пов'язані диференціальні оператори другого порядку, a ij = a ji , то
де N = (N1, . Nn) - одиничний (ко) вектор зовнішньої нормалі до Р,
- оператор диференціювання за напрямом так зв. конормалі
де M - конормаль оператора L, a
- (речовинно) пов'язані диференціальні оператори порядку m, α=(α1, α2, . αp) - цілочисленний мультиіндекс довжини α = р, 1 ≤ αi ≤ n, Dα = ∂α1∂α2 . ∂αp, ∂ = ∂/∂x i то
Тут граничний інтеграл можна записати у вигляді білінійної суми
де Si, Тj - деякі лінійні диференціальні оператори порядків si, tj, 0 ≤ si + tj ≤ m - 1.
Р. ф. відіграють важливу роль в аналізі і особливо в теорії крайових завдань для диференціальних операторів (звичайних і з похідними приватними) другого і більш високих порядків. Для досить гладких в D функцій u (х), v (x) Р. ф. (2), (4) служать джерелом ряду співвідношень, корисних для вивчення властивостей розв'язання крайових задач, з'ясування виду крайових задач, отримання рішення в явному вигляді і т.п. ) при v(x) = 1 слідує Гаусса теорема:
Для досить гладких в D функцій u (х), w (x) і функції
має при х = у таку ж особливість, як і фундаментальне рішення оператора Лапласа, вірні наступні Р. ф.
а ωn = 2π n/2 /Г(n/2) є площа (n - 1)-мірної одиничної сфери простору Е n При цьому для у ∈ Г передбачається, що кордон Г має безперервну дотичну площину в деякій околиці y.
Формули (5) і (6) є основою отримання інтегральнихуявлень про рішення основних крайових завдань потенціалу теорії (див. Гармонійна функція, Гріна функція, Пуассона формула). Напр., звідси для гармонійної D функції u(х) отримуємо формулу, або інтеграл Гріна
важливу роль у теорії гармонійних функцій.
Формули, подібні до формул (5), (6), що дають інтегральні уявлення рішення задачі Коші або змішаної задачі, мають місце і для нормально гіперболіч. оператора другого порядку. Див Кірхгофа формула, Рімана метод, Рімана функція.
Про Р. ф. теоретично крайових завдань див. також [4] -[9].
[1] Green G., An essay on application of matematical analysis to theories of electricity and magnetism, Nottingham, [1828]; [2] Максвелл Д., Вибрані твори з теорії електромагнітного поля, пров. з англ., М., 1954; [3] Смирнов Ст І., Курс вищої математики, т. 2, 20 видавництва, М., 1966; [4] Курант Р., Рівняння з приватними похідними, пров. з англ., М., 1964; [5] Володимиров Ст С., Рівняння математичної фізики, 2 видавництва, М., 1971; [6] Соболєв С. Л., Рівняння математичної фізики, 4 видавництва, М., 1966; [7] Міранда До., Рівняння з приватними похідними еліптичного типу, пров. з італ., М., 1957; [8] Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Лінійні оператори, пров. з англ., ч. 2, М., 1966; [9] Ліоне Ж.-Л., Мадженес Е., Неоднорідні граничні завдання та їх застосування, пров. з франц., М., 1971.
А. К. Гущин, Л. П. Купцов.
- Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.