Інші ортонормованісистеми функцій
2, на (1/4, 1/2) вона дорівнює − 2 і дорівнює нулю
на (1/2, 1]. √ А функція √ 3 ( ) дорівнює нулю на [0, 1/2), дорівнює + 2, на (1/2,
3/4) і дорівнює − 2 на (3/4, 1].Таким чином, значення функції 3 ( ) на інтервалі (1/2, 1) отримані за допомогою зсуву на
цей інтервал значень функції 2 ( ) з інтервалом (0, 1/2). Чис-
2 та − 2 забезпечують нормування функцій.
У точках розриву ці функції, як і наступні функції системи Хаара визначаються як напівсума меж справа і зліва. На малюнку зображені графіки функцій ( ) при
Далі будується блок із чотирьох функцій Хаара. Спочатку беруть функцію, яка дорівнює +2 на (0, 1/8), дорівнює -2 на (1/8, 1/4) і дорівнює нулю (1/4, 1). Тут значення +2 та −2 обрані для нормування.
Потім значення цієї функції зсуваються з (0, 1/4) на (1/4, 1/2), потім (1/2, 3/4) і, нарешті, на (3/4, 1). У кінцях інтервалів, що містяться в (0, 1), функції покладаються рівними напівсумі меж праворуч і зліва. На кінцях відрізка [0, 1] функції Хаара тривають по безперервності.
236 Гол. 19. Ряди Фур'є за тригонометричною системою
За вказаною схемою будуються подальші функції Хаара. При переході до кожного наступного блоку функцій носії зменшуються наполовину.
Властивості рядів Фур'є-Хаара відрізняються від властивостей рядів за тригонометричною системою значно.
Так, ряди Фур'є-Хаара безперервних функцій сходяться поступово до цих функцій.
Але коефіцієнти Фур'є-Хаара безперервних функцій не можуть зменшуватися дуже швидко. Саме якщо для коефіцієнтів Фур'є-Хаара безперервної функції при → +∞ справедлива оцінка = ( −3/2 ), то ця функція тотожно дорівнює нулю.
Незручність системи Хаара полягає в тому, що ці функції не є рівномірними.обмеженими, тобто. немає такого числа , що й виконується нерівність ( ) 6 .
Ряди Фур'є-Хаара добре відбивають локальні властивості функцій. Це можна пояснити так. Якщо функція дорівнює нулю поза деяким інтервалом, то для всіх функцій системи Хаара, носії яких не перетинаються з цим інтервалом, коефіцієнти Фур'є-Хаара функції дорівнюють нулю.
В останні роки XX століття інтенсивно розвивалися дослідження з подання функцій рядами по системах сплесків (вейвелети, від англійського wavelet). Зазначимо, що система Хаара є найпростішою та історично першою системою сплесків.
Значення рядів систем сплесків визначається тим, що вони, як і ряди системи Хаара, добре враховують локальні
§ 19.11. Інші ортонормовані системи функцій
характеристики функцій. Завдяки цьому ряди по сплеску широко використовуються в проблемах передачі інформації.
19.11.4. Ортогональні багаточлени. Ортогональні многочлени зазвичай визначають відрізку [−1, 1]. Для простоти розглядатимемо простір дійснозначних функцій, у якому введено скалярний твір
Якщо провести ортогоналізацію за Шмідтом системи ступенів 0 = 1, 2, . . . щодо скалярного твору ( 19.11.3 ), отримаємо систему багаточленів, які називаються багаточленами Лежандра.
Розглядаються також ортогональні багаточлени щодо більш загального скалярного твору, ніж ( 19.11.3 ),
де функція ( ), яку називають ваговою функцією або вагою, невід'ємна та інтегрована.
Система багаточленів Чебишева ( ) = cos arccos першого роду утворює ортогональну систему щодо ваги
Насправді, якщо ? = , то за допомогою заміни = cos знаходимо