Інтеграл Стілтьєса
Міністерство освіти України
Костромський державний університет імені Некрасова
З математичного аналізу
на тему: Інтеграл Стілтьєса
| Виконала: Бабіна К. В. Перевірила: Маянська Г. М. |
1.Визначення інтеграла Стілтьєса.
Стілтьєс Томас Іоаннес (29.21.1856, Еволле-31.12.1894, Тулуза) нідерландський вчений математик та астроном, член Нідерландської академії наук, іноземний член-кореспондент Санкт-Петербурзької академії наук з Фізико-математичного відділення. Закінчив Політехнічну школу у Делфті. Працював на Лейденській обсерваторії, з 1886 викладач, потім професор Університету в Тулузі. Наукові дослідження Стілтьєса переважно стосуються теорії функціональних безперервних дробів, проблеми моментів, теорії ортогональних багаточленів, інтегрального перетворення, наближеного інтегрування та інших питань класичного аналізу. Узагальнене Стілтьєсам поняття інтеграла Г.Рімана, запропоноване в 1894 році, відіграє важливу роль у сучасній математиці.
Визначається інтеграл Стілтьєса в такий спосіб.
Нехай у проміжку [a,b] задані дві обмежені функціїf(x)іg(x).Розкладемо крапками
проміжок [a,b] на частини та покладемо
Нарешті складемо суму всіх таких творів:
Ця сума носить назву інтегральної суми Стілтьєса.
Кінцева межа суми Стілтьєса
Щоб особливо чітко підкреслити, що інтеграл розглядається у сенсі Стілтьєса, використовують позначення
Межа тут розуміється тому, що у разі звичайного певного інтеграла.
Точніше, числоIназивається інтегралом Стілтьєса, якщо для будь-якого числа
Як би не вибирати точки
При існуванні інтегралу (3) говорять також, що функціяf(x)у проміжку [a,b] інтегрована за функцією
Єдина (але суттєва) відмінність даного вище визначення від звичайного визначення інтеграла Рімана полягає в тому, що
Ми для певності припускали a b. Втім, він безпосередньо наводиться до попереднього через рівність
2. Загальні умови існування інтеграла Стілтьєса.
Встановимо загальні умови існування інтеграла Стілтьєса, обмеженість, втім, припущенням, що функція