Інтерпретація
Завдання значення (сенсу) математич. виразів (символів, формул тощо). У математиці такими значеннями є математич. об'єкти (множини, операції, вирази тощо). Самі ці значення також зв. І. відповідних виразів. приклади. Значенням (або І.) символу Х може бути операція множення дійсних чисел, операція додавання цілих чисел і т. д. Нехай як І. символ Х обрана перша з цих операцій. Якщо символи x і у розуміються як дійсні змінні (тобто змінні, областю зміни яких є безліч всіх дійсних чисел), то значенням виразу хХу є відображення, що переводить будь-яку пару дійсних чисел в їх добуток; якщо значеннями символів х і у є відповідно числа 6 і 2,5, то значенням виразу хХ є число 15. Значенням (або І.) висловлювання в мові Плоский геометрії Лобачевського при інтерпретації Пуанкаре може бути відповідне висловлювання в мові плоскої евклідової геометрії. Найважливішим видом І. є теоретико-множинні І. виразів логіч. мов, коли йдеться про одночасну І. всіх виразів мови, то говорять про І. мови. Теоретико-множинна І. логіч. мови включає завдання значень констант - предметних, функціональних, предикатних і констант більш високих ступенів (констант для предикатів від предикатів і т. д.), а також завдання областей зміни змінних - предметних, функціональних і т. д. У багатосортних І. різні предметні змінні можуть мати різні області зміни, що стосується функціональних і т. д. змінних. Найбільш уживаними, однак, є І., при яких всі предметні змінні, так само як і функціональні змінні з однаковим числом аргументів і т. д., мають однакові області зміни. Якщо областю змінипредметних змінних (іноді званої областю, або носієм, І.) служить безліч D0, то областю зміни п-місцевих функціональних змінних служить деяка безліч Dnn-місцевих операцій на множині D0. Як безліч Dn часто вибирається безліч всіх n-місцевих операцій на D0, в такому разі згадка про область зміни функціональних змінних зазвичай опускається. Значеннями предметних констант є елементи з D0, функціональних констант - елементи з D1, D2. . При теоретико-множинні І. логіч. мови під І. терма (т. е. під значенням терма при даній І.) розуміється відображення, яке кожному набору значень змінних розглядається мови (або, при дещо іншому визначенні, набору значень змінних, що входять в терм) за певним правилом зіставляє елемент області І. Це відображення зазвичай визначається індукцією по побудові термів. Для отримання І. формул мови необхідно, крім перелічених вище компонент-І., задати деяке непорожнє безліч А, зване безліччю логічних значень. І. n-місцевих предикатних констант є відображеннями з А; зокрема, І. n-місцевих предикатних констант - це елементи А. Якщо в мові є нульмісцеві, одномісні і т. д. предикатні змінні, то їх областями зміни служать, відповідно , множина А, деяке підмножина множини AD0, що містить І. всіх одномісних предикатних констант і т. д. формули визначається аналогічно І. терма як відображення, що зіставляє всякому набору значень предметних, функціональних і предикатних змінних мови елемент множини А. Важливим видом -множинних І. є алгебраїч. І., при яких брало як значень (І.) логіч. зв'язок мови вибираються операції на множині А, як значення кванторів - відображення з множинипідмножин А А (узагальнені операції на А), і І. формули визначається індукцією по побудові. Серед інших теоретико-множинних І. найважливішими є крипці моделі. Бульовизначні алгебраїчні І. характеризуються тим, що безліч А є повною булевою алгеброю, а значеннями зв'язок і кванторів є: для кон'юнкції - перетин, для квантора існування - взяття точної верхньої грані і т. д. Особливо важливу роль відіграють класичні І., к-рі можна визначити як булевозначні І. з двоелементною булевою алгеброю А. Поняття істинності формули в даній І. визначається за допомогою виділення в анек-рих елементів. Напр., при класичній І. єдиним виділеним елементом є одиниця булевої алгебри (що позначається також "істина"). Формула зв. істинною при даній І., якщо її І. набуває лише виділених значень. Моделью (чи правильної II., чи навіть І.) системи формул деякої мови зв. І. мови, при якій всі формули системи істинні. Термін стандартна І. вживається, коли серед усіляких значень (І.) деякого виразу є одне загальноприйняте. Напр., стандартної І. символу = у класичних І. є збіг елементів, стандартними І. символів + та Х мови арифметики є складання та множення натуральних чисел. Відповідно вводиться поняття стандартної І. мови та стандартної моделі. Зокрема, класичну І. мови арифметики першого порядку з предикатною константою = і функціональними константами + і ., що інтерпретуються, як зазначено вище, зв. стандартним. Крім теоретико-множинних І. логіч. мов використовуються та інші. Напр., І., при яких брало вираження деякого логіч. мови інтерпретуються виразами іншого логіч. мови, що застосовуються при доказах розв'язності, нерозв'язності та відносної несуперечності логіч.теорій. також Конструктивна логіка. Літ.: [1] Расєва Є., Сікорський Р., Математика метаматематики, пров. з англ., М., 1972; [2] Черч А., Введення у математичну логіку, пров. з англ., т. 1, М., 1960; [3] Мендельсон Еге., Введення у математичну логіку, пров. з англ., 2 видавництва, М., 1976. А. Л. Семенов.