ІНВАРІАНТНА ЗАХОДА - це
Історично перші приклади І. м. пов'язані з диференціальними властивостями перетворень, що утворюють потоки деяких спеціальних типів на гладких різноманіттях (див.Гамільтонова система, Інтегральний інваріант).У термінах (локальних) координатх р, . . ., х пці заходи та. представляються у вигляді dm=rdx1. dxn,причому є явні вирази для щільності r=r(x1, .х п).У прикладах алгебраїч. походження (групові зрушення і т. д.) І. м. часто є міра Хаара або міра, що виходить з неї за допомогою якоїсь природної конструкції.
У топологічні. динаміці Н. Н. Боголюбовим та Н. М. Криловим ([1], див. також [2], [3]) доведено існування кінцевих ергодич. І. м. для безперервних потоків та каскадів на метрич. компакт X (можливі деякі узагальнення [4], [5], [6]). Неергодичні кінцеві І. м. є, в деякому сенсі, лінійними ергодичних комбінаціями; носії кінцевих І. м. певним чином пов'язані з поведінкою траєкторій в X (всі ці І. м. зосереджені на так зв. мінімальному центрі тяжіння [3]). Не доводиться розраховувати більш докладні твердження про властивості І. м. у випадку - можуть бути дуже різними. Так, в одному випадку ергодич. І. м. може бути зосереджена в одній точці, в іншому - бути позитивною для всіх відкритих підмножин Xі володіти властивостями "квазівипадкового" характеру (перемішування, позитивна ентропія і т. д.), опис і дослідження яких відноситься до ергодич. теорії (тоді як звернення до останньої у попередньому випадку було б беззмістовним). Тому є низка досліджень про існування І. м. з тими чи іншими цікавими властивостями у динаміч. систем тієї чи іншої спеціального типу.
Нарешті, можлива суто метрич. постановка питання про І. м. Нехайдинаміч. система має квазіінваріантну міру m; чи існує у неї І. м. v, еквівалентна m?(Обговорення цієї постановки питання див. в [7]. Про іншу постановку див. [8]). Відповідь у загальному випадку негативна, навіть якщо вимагати тільки s-кінцівки v, a- простір Лебега [9]. Відомі різні варіанти необхідних та достатніх умов існування кінцевої І. м.; найбільш вдалими видаються умови Хаджана
І Какутані [10], [8].
2) І. м. у теорії ймовірностей визначається щодо перехідної ймовірності. Нехай - вимірний простір, де Аесть s-алгебра, і Р(х, А),- перехідна ймовірність (тобто Р(х,Х) ),є імовірнісна міра напри кожномуі Р(Х, А) - вимірна щодо при кожному> на назву інваріантної щодоР,якщо
Якщо Т-вимірне відображення в собі, то міра m інваріантна щодо Ттогда і тільки тоді, коли вона інваріантна щодо перехідної ймовірності Р(х, А) = cT(x) (A ), де cу(A)=1 при і cу(А)= 0при
Літ.: [1] Боголюбов Н. Н., Ізбр. праці, т. 1, До., 1969, с. 411-463; [2] Окстобі Дж., "Успіхи математичних наук", 1953, т. 8, ст. 3, с. 75-97; [3] Немицький Ст Ст, Степанов Ст Ст, Якісна теорія диференціальних рівнянь, 2 видавництва, М.- Л., 1949; [4] Боголюбов Н. Н., Ізбр. праці, т. 1, До., 1969, с. 561 – 69; [5] Фомін С. Ст, "Матем. Зб.", 1943, т. 12, №1, с. 99-108; [6] його ж, "Ізв. АН СРСР. Сер. Матем.", 1950, т. 14, № 3, с. 261 – 74; [7] Xалмош П. Р., Лекції з ергодичної теорії, пров. з англ., М., 1959; [8] Володимиров Д. А., Булеви алгебри, М., 1969: [9] Ornstein D. S., "Bull. Amer. Math. Soc", 1960, v. 66 №4, p. 297-300; [10] Hayian A., Kakutani S h., "Trans. Amer. Math. Soc",1964, v. 110, p. 136-51; [11] Неве Ж., Математичні основи теорії ймовірностей, пров. з франц., М., 1969; [12] Данфорд Н., Шварц Д ж., Лінійні оператори. Загальна теорія, пров. з англ., М., 1962; [13] Йосида До., Функціональний аналіз, пров. з англ., М., 1967.
Математична енциклопедія. - М.: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.