Історія побудови музичної гами
"Роздумуючи про мистецтво і науку, про їх взаємні зв'язки та протиріччя, я дійшов висновку, що математика і музика знаходяться на крайніх полюсах людського духу, що цими двома антиподами обмежується і визначається вся творча духовна діяльність людини і, що між ними розміщується все, що людство створило в галузі науки та мистецтва."
Р. Нейгауз
I. Історична довідка
1. Відкриття Піфагора в галузі теорії музики.
Суть його в тому, що поєднання звуків, що видаються струнами, є найбільш милозвучним, якщо довжини струн музичного інструменту знаходяться в правильному чисельному відношенні один до одного.
Для свого відкриття Піфагор використовувавмонохорд– напівінструмент, напівприлад. Під струною на верхній кришці вчений накреслив шкалу, за допомогою якої можна ділити струну на частини. Було зроблено багато досвідів, у яких Піфагор описав математично звучання натягнутої струни.
2. Що визначає консонанс.
Довгий час не було єдиної думки про те, що визначає приємне для слуху звучання струни (у музиці це явище називаютьконсонансом). Ясність це питання вніс Архіт (IV в. е.), який сутність висоти тону бачив над довжині струни і над силі натягу, а швидкості її руху, тобто. швидкості наголосу струни по частинках повітря.
Сьогодні ця "швидкість руху" носить назвучастоти коливанняструни. Архіт встановив, що висота тону (або частота коливання струни) обернено пропорційна її довжині.
3. Закони піфагорійської музики.
В основі цієї музичної системи були два закони, які носять імена двох великих учених – Піфагора та Архіта. Ось ці закони:
1. Дві струни, що звучать, визначають консонанс, якщо їх довжини відносяться як цілі числа, що утворюють трикутне число 10=1+2+3+4, тобто. як 1:2, 2:3, 3:4. Причому чим менше число n відносноn:(n+1)(n=1,2,3), тим співзвучніше інтервал, що виходить.
2. Частота коливанняwструни, що звучить, зворотно пропорційна її довжиніl.
деа- коефіцієнт, що характеризує фізичні властивості струни.
II. Деякі поняття теорії музики
1. Гамою, абозвукорядом, називається послідовність звуків, розташованих відосновного тону(звуку) у висхідному або низхідному порядку.
2. Інтервалом між тонами називається порядковий номер ступеня верхнього тону щодо нижнього в даному звукоряді.
Інтервальнимкоефіцієнтомдвох тонів вважають відношення частоти коливань верхнього тону до частоти коливань нижнього:
Деякі інтервальні коефіцієнти та відповідні їм інтервали в середні віки були названідосконалими консонансамиі отримали такі назви:
3. Тоніка - основний найбільш стійкий тон в гамі. З нього починається ця музична система.
Лад– приємний для слуху взаємозв'язок музичних звуків, що визначається залежністю нестійких звуків від стійких і має певний характер звучання.
Музичний лад -математичний вираз системи звуковисотних співвідношень - ладу.
III. Математичне опис побудови музичної гами
1. Основою музичної шкали-гами піфагорійців був інтервал -октава. Вона є консонансом, що повторює верхній звук. Для побудови музичної гами піфагорійцям потрібно було розділити октавуна красиві частини. Оскільки вони вірили у досконалі пропорції, то зв'язали пристрій гами із середніми величинами: арифметичним, гармонійним.
Середнє арифметичнечастот коливань тоніки (w1) та її октавного повторення (w2) допомагає знайти досконалий консонансквінту.
Довжина струниl3, що відповідає квінті, за другим законом Піфагора-Архіта будесереднім гармонічнимдовжин струн тонікиl1та її октавного повторенняl2.
Значитьw4:w1= 4 : 3. У результаті знаходимо ще один досконалий консонанс -кварту.
Визначимо, як пов'язані довжини струн знайдених частот (l4іl1):
Це означає, що довжини струнl1,l2іl4пов'язані між собою середнім арифметичним.
Отже,частота коливаньквінтиєсереднім арифметичнимчастот коливань основного тонуw1і октавиw2, а частота коливанькварти-середнім гармонічнимw1іw2. Або інакше:довжина струни квінтиєсередня гармонійнадовжин струн основного тонуl1і октавиl2, адовжина струни кварти-середнє арифметичнеl1іl2. Це лише незначна частина тих прекрасних пропорцій, які були втілені у піфагорійській музичній гамі.
2. У стародавніх греків існував і інший спосіб побудови музичної гами, крім описаного вище. Він був більш простим і зручним і досі застосовується для настроювання музичних інструментів.
Виявляється, гаму можна побудувати, користуючись лише досконалими консонансами – квінтою та октавою. Суть цього методу полягає в тому, що від вихідного звуку, наприклад "до" (3/2) 0 = 1, ми рухаємося квартами вгору і вниз іотримані звуки збираємо в одну октаву. І тоді отримуємо: (3/2) 1 = 3/2 - сіль, (3/2) 2: 2 = 9/8 - ре, (3/2) 3: 2 = 27/16 - ля, (3/ 2) 4: 22 = 81/64 - ми, (3/2) 5: 22 = 243/128 - сі, (3/2) -1: 2 = 4/3 - фа. (Всі математичні розрахунки виконуємо на комп'ютері, використовуючи програму "Калькулятор".)
Скористайтеся можливостями комп'ютера, точніше текстового процесора MS Word:
| до (1) | 1 |
| ре (9/8) | 1,125 |
| ми (81/64) | 1,266 |
| фа (4/3) | 1,333 |
| сіль (3/2) | 1,5 |
| ля (27/16) | 1,687 |
| сі (243/128) | 1,898 |
Для наочності збудуємо відповідну діаграму музичного ладу:
Або у вигляді графіка:
Маючи в своєму розпорядженні ці звуки по порядку, отримуємопіфагорів лад лідійської гами. Виходячи з можливих побудов звукоряду, було отримано кілька назв тетрахорда - чотириступінчастого звукоряду в межах кварти. Це були дорійський, фригійський і вже згаданий лідійський устрій музичної гами.
Остання побудова музичної гами має таку особливість: рухаючись квінтами вгору і вниз, не вийде точного октавного повторення вихідного звуку. Лише 12 квінт приблизно рівні 7 октавам, а розділяє їх інтервал називаєтьсяпіфагорової комою. Незважаючи на свою дещицю, піфагорова комма протягом століть "різала вухо" музикантам. Взявши відношення (3/2) 12:27 (використовуємо калькулятор), можна знайти чисельне значення піфагорової коми (1,0136).
3. Ідея досконалості навколишнього світу володіла умами вчених і наступні епохи. У першій половині XVII ст. І.Кеплер встановив сім основних гармонійнихінтервалів : октаву - 2/1, велику сексту - 5/3, малу сексту - 8/5, чисту квінту - 3/2, чисту кварту - 4/3, велику терцію - 5/4 і малу терцію - 6 /5.
мала терція (6/5)
велика терція (5/4)
чиста кварта (4/3)
чиста квінта (3/2)
мала секста (8/5)
велика секста (5/3)
октава (2/1)
Подивимося відповідну діаграму:
Або за допомогою графіка:
З допомогою цих інтервалів він виводить весь звукоряд як мажорного, і мінорного способу. Після довгих пошуків гармонійних відносин " на небі " , зробивши величезну обчислювальну роботу, І.Кеплер встановив, що відносини екстремальних кутів швидкостей деяких планет близькі до гармонійним: Марс - 3/2, Юпітер - 6/5, Сатурн - 5/4. "Сонце гармонії засяяло у всьому блиску. Небесний рух є не що інше, як музика, що ні на мить не припиняється", - так думав учений. Тут Кеплера залишає буйна фантазія. Невеликі розбіжності у розрахунках та спостереженнях він пояснює тим, що небесний секстет повинен звучати однаково відповідно і в мажорі, і в мінорі, а для цього йому необхідно мати можливість перебудовувати свої інструменти.
Далі Кеплер пише про те, що Сатурн і Юпітер "співають" басом, а Марс – тенором, Земля та Венера – альтом, а Меркурій – дискантом. Жодних доказів він не наводить. Виконуючи численні розрахунки, вчений втомився у пошуках загальної гармонії. "Мій мозок втомлюється, коли я намагаюся зрозуміти, що я написав, і мені вже важко відновити зв'язок між малюнками та текстом, який сам колись знайшов", - писав знаменитий астроном і математик. Настав новий час у природознавстві: на зміну пошукам І.Кеплера йшли відкриття Ньютона.
Спочатку було дано фізичне визначення звуку. Музичний тон,як мовилося раніше, є коливальний процес із деякою фіксованою частотою. Відомо, що людське вухо здатне сприймати коливання частоти від 16 до 20 000 гц.
В основі влаштування музичної гами лежать певні закономірності. Для побудови гами набагато зручніше користуватися, виявляється, логарифмами відповідних частот: log 2w0, log 2w1. log 2wm. Октава (w0,2w0) при цьому перейде в проміжок від log 2w0до log 2w0= log 2w0+1, тобто. у проміжок довжиною 1. Геометрична прогресія w0, w1. wm буде відповідати арифметичній log 2w0, log 2w1, ..., log 2wm. Таким чином, на осі логарифмів шкала складатиметься з точок А, А+1/m; А+2/m; ; А+1 де А – величина. На скільки частин повинна бути розділена музична шкала, чому дорівнює m? Аналіз багатьох традиційних прикладів народної музики показав, що найчастіше в ній зустрічаються інтервали, що виражаються за допомогою відносин частот: 2 (октава), 3/2 (квінта), 5/4 (терція), 4/3 (кварта), 5/ 3 (секста), 9/8 (секунда), 15/8 (септіма). Ці та інші висновки показали, що музична шкала має бути поділена на 12 частин. Відношення сусідніх частот рівномірно-темперованого ладу постійно і рівне.