КОНСТРУКТИВНА ЛОГІКА
Філософський енциклопедичний словник. - М.: Радянська енциклопедія. Гол. редакція: Л. Ф. Іллічов, П. Н. Федосєєв, С. М. Ковальов, В. Г. Панов. 1983 .
КОНСТРУКТИВНА ЛОГІКА (від латів. constructio - побудова) - частина математич. логіки, що відповідає т.зв. конструктивному напрямку, характерна особливість якого полягає у вимогі конструктивності (побудови) тих об'єктів, існування яких затверджується в пропозиціях математики і логіки. Є відтінки цього напряму, відмінні друг від друга, передусім, різним підходом до розуміння поняття існування стосовно абстрактним об'єктам логіки і математики. л. є логіка тих прийомів міркування, які претендують на конструктивність (в указ. сенсі). Залежно від особливостей тієї чи іншої течії всередині конструктивного напрямку К. л. можна або ототожнювати з інтуїціоністською логікою (див. також Логіка висловлювань, Предикатів обчислення), або вважати, що вона є деяке розширення цієї останньої. Так, можна вважати, що з позицій конструктивного спрямування, очолюваного Марковим та Н. А. Шаніним, К. л. виходить з інтуїціоністського приєднання так званого принципу конструктивного підбору (див. Конструктивний напрямок). У розробку різних аспектів конструктивного напряму та К. л., крім згаданих вище вчених, зробили внесок французький математик Ж. Ербран, сов. математик М. Шейнфінкель, Кліні, Колмогоров, Гёдель, Черч, Тьюрінг, Керрі, Лоренцен, німецький математик К. Шютте та ін. З ньому., М.-Л., 1934; Марків?. . Про безперервність конструктивних функцій, "Успіхи математичних наук", 1954, т.9, No 3, с. 226–230; його ж, Про один принцип конструктивної математики. логіки, у кн.: Тр. третього Всесоюзного.матем. з'їзду, т. 2, М., 1956, с. 146–47; Кліні С. До., Введення в метаматематику, М., 1957; Проблеми конструктивного спрямування математики, [т. ] 1-2, М.-Л., 1958-62; Чорч. Введення у математичну логіку, [т. ] 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математична логіка, М., 1961; Гейтінг. Огляд досліджень з основ математики, пров. з ньому., М.-Л., 1936; його ж, Інтуїціонізм, М., 1964; Вrоuwеr L. Е. J., Over de grondslagen der wiskunde, Amst.-Lpz., 1907, [Thesis]; його ж, De onbetrouwbaarheid der logische principes, "Tydschrift voor wijsbegeerte", 1908, 2, з 152-58; його ж, Intuitionism and formalism, "Bull. Amer. Math. Soc.", 1913, v. 20, No 2; його ж, Mathematik, Wissenschaft und Sprache, "Monatsh. Math. und Physik", 1929, Bd 36; Glivenko V., Sur кілька пунктів de la logique de Brouwer, "Bull. de la classe des sci. Acad. Royale de Belgique", 1929, ser. 5, t. 15, No 3, p. 183–88; Heyting. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, "Sitzungsber. der Preussischen Akad. Wiss. Physikalisch-math. Klasse", 1930, [No] 2, 10-12; Johansson I., Der Minimalkalkul, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus, "Compositio Math.", 1937, v. 4, p. 119–36; Mannour G., Mathesis en mystiek, Amst., 1925; його ж, Les fondements psycholinguistiques des mathematiques, Nchat., 1947; Fitch F. Ст, Intuitionistic modal logic with quantifiers, "Portugaliae Math.", 1948, v. 7; Haо Wang, Eighty years of foundational studies, " Dialectica " , 1958, v. 12, No 3–4.
Філософська енциклопедія. У 5-х т. - М.: Радянська енциклопедія. За редакцією Ф. В. Константинова. 1960-1970.
КОНСТРУКТИВНА ЛОГІКА КОНСТРУКТИВНА ЛОГІКА — сукупність логічних принципів, що визнаються представниками конструктивізму (в математиці) і включають абстракцію потенційної, але неактуальної нескінченності, що певним чином змінює розуміння логічних зв'язок та кванторів (порівняно з їх розумінням у класичній логіці), поєднуючи це розуміння з конструктивними процесами (процесами, що описуються алгоритмами). Так, диз'юнкція висловлювань "А або В" вважається обґрунтованою, якщо потенційно здійснимо конструктивний процес, що дозволяє вибрати правильний член цієї диз'юнкції; аналогічно оцінюється обґрунтованість багаточленних диз'юнкцій. Близько до розуміння диз'юнкції тлумачення квантора існування: твердження “існує такий х, котрим справедливо умова А> вважається обґрунтованим, якщо потенційно здійснимо конструктивний процес підбору конструктивного об'єкта х, що підтверджує умову/! Обґрунтування кон'юнкції "А і В" полягає в обґрунтуванні обох (тобто всіх) кон'юнктивних членів, а твердження "Для всякого х справедливо умова А" вважається обґрунтованим, якщо ми в змозі для будь-якого об'єкта даного виду довести, що він задовольняє пред'явленій вимогі . Обґрунтування імплікації "якщо А, то В" полягає у пред'явленні конструктивного процесу, що дозволяє з обґрунтування затвердження А побудувати обґрунтування затвердження В. Заперечення затвердження А обґрунтовується пред'явленням конструкції, що призводить до суперечності будь-яку спробу обґрунтування/!. Конструктивне тлумачення логічних зв'язок і кванторів допускає й різні інші уточнення. Зокрема, створено різні аксіоматичні системи конструктивної логіки. Оскільки конструктивна позиція ідейно близька до інтуїціоністської, аксіоматичні системи, що спочатку призначалися для реконструкції інтуїціоністськи прийнятних міркувань (див. Інтуїціоністська логіка), називаються (або маються на увазі) конструктивними. (Напр., що активно вивчаютьсясуперінтуїціоністські логіки в 60-ті роки. і трохи пізніше називалися суперконструктивними.) Відмінність цих логік від класичної виявляється у тому, що хоч конструктивно прийнятними є, напр., закони ? -” -?-ip, -r-r-ip -> -?, (? -> q) -> (-.q -> -.?), в цих системах відсутні практично всі інші варіанти форм міркувань "від противного" - закон зняття подвійного заперечення -.-.? -> р, закон контрапозиції (-ip -> -iq) -> (q -> ?), Закон Клавія (-.? -> ?) -> ?, Закон Пірса ((? - & gt; q) - & gt; ?) - & gt; ? та ін. Крім того, в конструктивній логіці зв'язки незалежні, тобто не виражаються один через одного, немає класичної взаємовиразності кванторів загальності та існування. В результаті виявляються, зокрема, необґрунтованими міркування, що призводять до доказу т.з. чистих теорем існування, типовим прикладом яких є доказ Р. Кантора існування трансцендентних (тобто дійсних, але не алгебраїчних) чисел: приводиться до суперечності припущення про можливість розмістити всі дійсні числа в послідовність, у той час як алгебраїчні числа в послідовність можна розташувати . Чисті теореми існування (мається на увазі формулювання теореми, що випливає з доказу) мають вигляд -?3??(?), що не переводиться в ЗхА(х), оскільки їх докази не дають конкретного х, що підтверджує справедливість А, а лише призводять до суперечності твердження про відсутність такого х. Однак через специфіку конструктивних об'єктів і процесів багатьма представниками конструктивізму (на відміну, скажімо, від прихильників інтуїціонізму) приймається принцип конструктивного підбору (або принцип Маркова): якщо є алгоритм, що дозволяє за довільним конструктивним об'єктом х здійснюватиконструктивний процес встановлення наявності ух властивості Л, то разі обгрунтування -г-ЗхА(х) вважається обгрунтованим і ЗхА(х). Взаємозв'язки класичних та конструктивних логічних систем виявляються на пропозиційному рівні у вигляді т.з. теореми Глівенка: а) негативні твердження у цих системах однакові; б) конструктивно прийнятним є подвійне заперечення будь-якого закону класичної логіки висловлювань і навпаки. Для справедливості теореми Глівенка для предикатних варіантів конструктивних і класичних систем необхідне додавання як схему аксіом до конструктивної системи закону -?-,(/xA(x) ? -? хА(х>) та/або закону Уд:-гтД(х) ->-?-.^??(?) (зворотна імплікація -г-? Ул4(х) -> Vx -?-?-?(?) приймається в конструктивній логіці). на їх основі теорій є т. н. формулу A(t) при деякому конкретному t, що ефективно розшукується, тобто з доказу існування конструктивного об'єкта з необхідними властивостями можна витягти конструкцію його побудови. Крім аксіоматичних систем конструктивної логіки, є різні семантичні побудови, що відображають конструктивні погляди на зміст логічних зв'язок, формул і т.д. арифметичних формул і створена А. А. Марковим ступінчаста система побудови логічних мов з одночасним визначенням їхньої семантики "знизу вгору". Літ.: Марков А. А. Про логіку конструктивної математики. М.,1972; Новіков П. С. Конструктивна математична логіка з точки зору класичної. М., 1977; Він же. Елементи математичної логіки. М., 1984; Довідкова книга з математичної логіки, т. IV: Теорія доказів та конструктивна математика. М., 1983; Марков А. А., Нагорний Н. М. Теорія алгоритмів. 2-ге вид. М., 1996. А. В. Чагров
Нова філософська енциклопедія: У 4 тт. М.: Думка. За редакцією В. С. Степіна. 2001 .
Інші новини по темі:
Будь ласка, розмістіть посилання на цю сторінку на своєму веб-сайті: