Континуум-гіпотеза, Математика, FANDOM powered by Wikia
У 1877 році Георг Кантор висунув і згодом безуспішно намагався довести так звануконтинуум-гіпотезу, яку можна сформулювати наступним чином:
Будь-яке нескінченне підмножина континууму є або лічильним, або континуальним.
Континуум-гіпотеза стала першою із двадцяти трьох математичних проблем, про які Давид Гільберт доповів на II Міжнародному Конгресі математиків у Парижі в 1900 році. Тому континуум-гіпотеза відома також як перша проблема Гільберта.
В 1940 Курт Гедель довів у припущенні несуперечності системи аксіом Цермело-Френкеля (ZF), що, виходячи з аксіом теорії множин разом з аксіомою вибору, континуум-гіпотезу не можна спростувати; а 1963 року американський математик Пол Коен довів (також у припущенні несуперечності ZF), що континуум-гіпотезу не можна довести, з тих-таки аксіом. Таким чином, континуум-гіпотеза не залежить від аксіом ZF.
Поділ за запереченням або підтвердженням континуум-гіпотези призвів до створення так званої канторівської теорії множин, яка вважає, що потужність безлічі дійсних чисел або континууму дорівнює$ \aleph_1 $і неканторівській теорії множин в якій це не так. У разі можна довести, що міжcі$ \aleph_1 $укладено нескінченно багато кардинальних чисел.
Узагальнена континуум-гіпотезастверджує, що для будь-якої нескінченної множиниSне існує таких множин, кардинальне число яких більше, ніж уS, але менше, ніж у множини всіх його підмножин $2^S$.
Узагальнена континуум-гіпотеза також не суперечить аксіоматиці Цермело-Френкеля, і, як показали Серпінський в 1947 і Шпеккер в 1952р., з неї випливає аксіома вибору.