kornil - ФУБ семестр 1-p14
Системи лінійних рівнянь з довільною кількістю рівнянь та невідомих
При розв'язанні системmлінійних рівнянь зnневідомими, поряд із матрицею системи
А=
розглядатимемо ще матрицю, отриману зАдодаванням стовпця вільних членів. Така матриця називаєтьсярозширеноюматрицею системи та позначається
Метод повного виключення (МПІ) або метод Жордана-Гаусса
Метод повного виключення є універсальним методом розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри з будь-яким співвідношенням кількості невідомих і кількості рівнянь. Він заснований на елементарних перетвореннях систем рівнянь або, що саме, на елементарних перетвореннях їх матриць. Послідовністьелементарних перетвореньнаводить вихідну систему рівнянь до рівносильної (еквівалентної), тобто має ті ж рішення, що і вихідна система.
Ідея методуполягає в тому, щоб перетворити систему на рівносильну так, щоб частина невідомих (вони вибираються довільно) відповідала вимогі: зберігалося тільки в єдиному рівнянні системи. Ці невідомі називаютьбазисними.У загальному рішенні системи базисні невідомі будуть виражені через решту невідомих, які називаютьсявільними.
Метою перетворень системи рівнянь є збереження обраного довільно невідомого лише у одному з рівнянь і виключення цього невідомого із решти рівнянь. Зауважимо, що кожне рівняння системи відповідає рядку розширеної матриці системи
Тому будь-яка дія над рядками матриці відповідає такій же дії надрівняннями системи. Зазначимо, що аналогічні елементарні перетворення можливі і з шпальтами матриці, але за застосуванні МПІ їх робити годі було, т.к. дії зі стовпцями пов'язані з перенумерацією невідомих та практично незручні. У МПІ діютьтільки з рядками розширеної матриці.
Достатньо використовувати два видиелементарних перетворень:
множення (розподіл) рівняння системи (рядки розширеної матриці системи) на будь-яке, не рівне нулю число;
додаток (віднімання) до одного рівняння системи (рядку матриці) іншого її рівняння (рядка), помноженого на будь-яке число.
Якщо за цих перетвореннях у системі рівнянь утворюється хоча одне рівняння виду:0x1+0x2++0xn=b; (b0), що відповідає рядку в матриці системи виду0 00b, то системанесумісна, тому що дане рівняння не задовольняється ні за яких значень невідомих
Якщо ж у системі утворюється рівняння виду0x1+0x2++0xn=0, що відповідає нульовому рядку в матриці, то таке рівняння можна відкинути, оскільки воно задовольняється за будь-яких значень невідомих. Вочевидь, якщо утворюється кілька рівнянь (рядків) з пропорційними коефіцієнтами, можна залишити лише одне їх, інші ж відкинути.
Перетворення за методом повного виключення (МПІ) полягають у тому, що в кожному рядку матриці системи вибирається ненульовий базисний коефіцієнт (який стоїть відповідно прибазисному невідомому) і потім за допомогою елементарних перетворень домагаються, щоб в інших рядках матриці при базовому невідомому стояли нульові коефіцієнти. Такі діїпризводять до того, що обране базисне невідоме залишається лише у одному з рівнянь системи (відповідно його базисний коефіцієнт - у одному рядку матриці), та якщо з інших “виключається”. Для зручності обчислень, якщо обраний базисним коефіцієнт
Якщо у кожному рядку матриці вже обраний базисний коефіцієнт і виконані елементарні перетворення, що виключають відповідне невідоме в інших рядках, перетворення матриці по МПІ закінчують.
Розглянемо рішення систем лінійних рівнянь алгебри МПІ на прикладах. Вони матриці систем на вирішення записуються в таблиці. Стрілки праворуч від таблиць показують дії (елементарні перетворення) над рядками матриць. Початок стрілки завжди знаходиться біля рядка з базисним коефіцієнтом, а її кінець вказує на рядок, до якого додається рядок з базисним коефіцієнтом, помножений на число, що стоїть поряд зі стрілкою. Очевидно, що число вибирається так, щоб при додаванні під (над) базисним коефіцієнтом виходили нулі.
ПРИКЛАД 1.
