Криволінійні інтеграли другого роду

Припустимо, що крива \(C\) задана векторною функцією \(\mathbf = \mathbf\left( s \right),\) \(0 \le s \le S,\) де змінна \(s\) − довжина дуги кривої. Тоді похідна векторної функції [>>> = \boldsymbol > = \right)> \] є одиничний вектор, спрямований уздовж дотичної до даної кривої (рисунок \(1\)).

У наведеній вище формулі \(\alpha, \beta\) та \(\gamma\) − кути між дотичною та позитивними напрямками осей \(Ox, Oy\) та \(Oz,\) відповідно.

другого

криволінійні

Введемо векторну функцію \(\mathbf\left( \right),\) визначену на кривій \(C,\) так, щоб для скалярної функції \[\mathbf \cdot \boldsymbol = P\cos \alpha + Q\cos \ beta + R\cos \gamma \] існував криволінійний інтеграл \(\int\limits_C \cdot \boldsymbol> \right)ds> .\) Такий інтеграл \(\int\limits_C \cdot \boldsymbol> \right)ds>\) називаєтьсякриволінійним інтегралом другого родувід векторної функції \(\mathbf\) вздовж кривої \(C\) і позначається як \[\int\limits_C.\] Таким чином, за визначенням, \[> = \right)ds> ,> \] де \(\boldsymbol \left( \right)\) - одиничний вектор дотичної до кривої \(C.\)

Останню формулу можна переписати також у векторній формі: \[\cdot d\mathbf> \right)> > = \left( \left( s \right)> \right) \cdot \boldsymbol > \right)ds> ,> \] де \(d\mathbf = \left(\right).\)

Нехай \(C\) позначає криву з початком у точці \(A\) і кінцевою точкою \(B.\) Позначимо через \(-C\) криву протилежного напрямку - від \(B\) до \(A.\) ) Тоді \[\int\limits_ < - C> \cdot d\mathbf> \right)> = - \int\limits_C \cdot d\mathbf> \right)> ;\]

Якщо крива \(C\) лежить у площині \(Oxy\) і задана рівнянням \(y = f\left( x \right)\)(передбачається, що \(R = 0\) та \(t = x\)), то остання формула записується у вигляді \[> = \right) + Q\left( \right)\frac>>> \right]dx> .> \]