Лекції з алгебри Алгебра називається комутативною
Алгебра називається комутативною, якщо ху = ух за будь-яких X і у з алгебри. Алгебра називається антикомутативною, якщо квадрат будь-якого її елемента дорівнює нулю. У цьому випадку для будь-яких X а у кз алгебри виконано співвідношення ху = - ух, бо
0 == (х + у) (х + у) = X2 + ух + ху + у2 = ух + ху.
Алгебра називається алгеброю Лі, якщо вона антикомутативна і для будь-яких трьох її елементів виконано співвідношення Якобі:
x(yz) + y(zx) + z(xy) = 0.
Серед алгебр, що зустрічаються у додатках, алгебри Лі відіграють особливу роль. Зокрема, вони тісно пов'язані із групами Лі.
Будь-яка асоціативна алгебра може бути «перетворена» в алгебру Лі за допомогою введення нового «множення» про по нравілу X о у = ху - ух. Зрозуміло, що X про X =» 0 за будь-якого х. Співвідношення Якобі легко перевіряється:
xo(yoZ) + yo (z°x)+Zo (х°у) = x(yz - zy) - (yz - zy)x +
+ у (zx - xz) - (zx - xz) у -J-z (xy - yx) -
Алгебра (не обов'язково асоціативна) називається алгеброю з поділом, якщо рівняння ху = z можна розв'язати щодо х при даних у Ф О і z. Інакше кажучи, алгебри з розподілом характеризуються тим, що це оператори правого множення, крім нульового, невироджені. У алгебрах з розподілом рівняння ху = z при у ФО можна порівняти з х однозначно, бо невироджений оператор має нульове ядро. Зокрема, з рівності ху=0 випливає, що при у О X = 0 і що X=J^O можливе тільки при у = 0. Але це означає, що будь-який оператор лівого множення, крім множення на 0, має нульове ядро і, отже, невироджений. Тому і кожне рівняння ху = z при х ф 0 можна розв'язати щодо у.
Легко бачити, що над полем С немає алгебр з розподілом, крім самого JC. Дійсно, якщо розмірність п алгебри з поділомбільше 1, то в ній існує два лінійно незалежні елементи X і у. Розглянемо відповідні їм оператори правого множення Six & 1У та їх матриці Rx і Ry в деякому базисі. З огляду на невиродженості операторів правого множення det Rx Ф 0 і det Ry Ф0. Розглянемо елемент x-\-ty при t є = .З Оператор правого множення нею є Rx + tRy. Його визначник det(Rx+tRy) = detRx-T- |+f"det/?j, є поліном ступеня п від t, отже, звертається в 0 при деякому значенні t. Це неможливо в алгебрі з розподілом, бо х + ty Ф 0, і, отже, оператор Six + Шу має бути невироджений.Що стосується алгебр розмірності 1, то, як легко бачити, їх існує тільки дві, з точністю до ізоморфізму, - алгебра з нульовим множенням (тобто алгебра , в якій добуток будь-яких двох елементів дорівнює 0) і С. Над полем дійсних чисел алгебри з розподілом існують - зокрема, поле С. З важливою алгеброю розмірності 4 ми познайомимося в наступному параграфі.
4. Ідеали алгебри. Правим ідеалом алгебри А називається підпростір /таке, що за будь-яких у єн /, х є А буде ух єє /. Іншими словами, правий ідеал алгебри є підпростір, інваріантний для всіх операторів правого множення. Аналогічно визначається лівий ідеал алгебри. Підпростір, що є правим ідеалом та лівим ідеалом одночасно, називається двостороннім ідеалом. Зрозуміло, що у комутативної чи антикоммутативной алгебрі всі ідеали двосторонні.
Двосторонні ідеали грають теоретично алгебр таку ж роль, як нормальні підгрупи теоретично груп: саме вони, і вони, є ядрами гомоморфізмів алгебр. Гомоморфізмом, або гомоморфним відображенням алгебри А в алгебру називається лінійне відображення ср: А- * В, що зберігає множення, тобто таке, що ф (ху) = ф (х) ф (у).
Легкобачити, що ядро / будь-якого гомоморфізму ф алгебри А є двосторонній ідеал. Справді, якщо у єн У, то у (у)= О, але тоді у(ху) = ф(х)ф(«) = 0 і Попередня 158 159 160 161 162 163 .. 168 >> Наступна