Лекція 29
Як ми раніше зазначили, інтенсивність потоку в певному сенсі є математичним очікуванням кількості подій за одиницю часу (зворотна до неї величина вказує на середній час між подіями). Другою величиною, що характеризує наскільки великий розкид у часі приходу подій щодо математичного очікування, є дисперсія.
Припустимо, події в потоці точаться одна за одною кожні 12 хвилин без відхилень. Інтенсивність такого потоку дорівнюватиме 5 подій на годину. Але якщо події будуть йти випадково, наприклад, 12 ± 2 хвилини, то вони в середньому дадуть також 5 подій на годину. Наприклад, за 200 годин відбудеться 1000 подій, величина інтенсивності 1000/200 = 5 подій на годину. Тому за цією характеристикою потоки не можна відрізнити один від одного. Але очевидно, що другий потік таки буде більш випадковим, ніж перший. Тим більше, якщо в потоці події йдуть один за одним 12±10 хвилин.
Перший потік ми назвемо детермінованим, регулярним, другий і третій випадковими. Причому міра випадковості зі збільшенням дисперсії (розкиду величини інтервалу між подіями) зростатиме. У першому потоці дисперсія дорівнює нулю. Цей факт проілюстровано на рис. 29.1.
 |
Власне, саме дисперсія визначає випадковість появи події, слабку передбачуваність моменту її появи. Важливо вміти керувати цією величиною під час моделювання випадкових потоків. Якщо передбачити кожну наступну подію важко, то потік без післядії (або з малим післядіям, зв'язок між подіями відсутній, події випадкові), якщо потікдетермінований, то післядія велика | кожної подія практично передбачає момент появи наступного.
Потік Ерлангаk-го порядку - це потік випадкових подій, що виходить, якщо в найпростішому випадковому потоці зберегти кожну подію, а інші відкинути (див. 29.2). Порядок потоку - міра післядії потоку. Тобто оберненою величиною до міри випадковості потоку є його порядок.
 |
Просіювання подій починає призводити до того, що між точками з'являється післядія, детермінація, яка тим вища, що більшаk. Зі збільшеннямkточки лягають на вісь часу все більш рівномірно, розкид їх зменшується, регулярність збільшується.
Засноване це на тому простому і раніше вивченому нами факті, що сума випадкових величин є величина невипадкова (центральна гранична теорема див. лекцію 25). Чим більше ми складемо випадкових величин, тим більш передбачуваним буде результат (їх сума).
інтервал між подіями в потоці Ерлангаk-го порядку.
Щільність ймовірності розподілу інтервалів між випадковими подіями в потоці Ерлангаk-го порядку:
λk=λ/kІнтенсивність потоку Ерлангаk-го порядку, деλІнтенсивність найпростішого потоку Пуассона, аλkінтенсивність просіяногоkразів потоку, тобто вkразів менше.
Зверніть увагу, що в потоці ЕрлангаM≠σ, тобто в потоках з післядією рівністьMіσнеможливо.
Понад те, приk> ∞ подія відбувається сувороу розмірений час, тому щоσ¨> 0 .
Порівняйте: Потік Ерланга 1-го порядку: Потік без післядії; Потік Ерлангаi-го порядку:m≠σ2 , при цьому (σ2 > 0 ) і (σ1σ2) розкид зменшується, післядія збільшується; Потік Ерланга ∞-го порядку:m≠σ= 0 регулярний потік.
З цього випливає, що порядок потоку Ерланга є міра післядії потоку.
Приклад. Розглянемо приклад виходу з ладу лампочок на опорі вуличного освітлення. Приймемо час спостереження 100 років. З паспортних даних на ці вироби відомо, що середній час роботи на відмову становить 1.5 року; середньоквадратичне відхилення 0.5 року.
ОскількиMk≠σk, тоk≠ 1 , тобто ми маємо справу з потоком з післядією. Інтенсивність цього потокуλk= 1/Mk= 1/1.5 = 0.67. Обчислена інтенсивність потоку говорить нам про те, що протягом року в середньому перегорає 0.67 лампочки або 67 лампочок за 100 років.
Оскількиσk= 1/sqrt(k)/λkі дорівнює 0.5, то обчислимо порядок потоку Ерланга:k= 1/σ2 /λk2 = 1/0.5 2 /0.67 2 ≈ 9 .
Обчислимо інтенсивність породжуючого потоку Пуассонаλ=λk·k= 0.67 · 9 = 6 .
На рис. 29.3 наведено приклад алгоритму, що реалізує моделювання описаного процесу. Зверніть увагу, що береться кожна дев'ята подія, що забезпечує досить високу детермінованість потоку (тобто малу дисперсіюσk= 0.5).