ЛЕКЦІЯ16 моделі витіснення рідин, що не змішуються.
Найбільш розроблено теорію одновимірного руху двофазної рідини в пористому середовищі. Її основні припущення:
рідини передбачаються такими, що не змішуються (взаємно нерозчинними;
рідини вважаються стисливими, а пористе середовище – недеформованим; фазові переходи відсутні; коефіцієнти в'язкості фаз постійні;
відносні фазові проникності та капілярний тиск є відомими однозначними функціями насиченості;
гістерезисні явища не враховуються (розглядаються лише односпрямовані процеси).
Грунтуючись на цих припущеннях, виводиться повна система рівнянь двофазної фільтрації в пористому однорідному середовищі з урахуванням капілярних і гравітаційних сил.
У разі прямолінійно-паралельного перебігу вздовж осіх(рисунок 16.1) рівняння нерозривності (15.9) для фаз мають вигляд:
, . (16.1)
Узагальнений закон Дарсі (15.10) зводиться до рівнянь:
, (16.2)
. (16.3)
Тутa –кут нахилу осіхдо горизонту (рисунок 16.1);r1 іr2 - густини фаз.
Невідомі характеристики перебігуs, u1, u2, p1і p2 залежать від координати та часу.
Рисунок 16.1 – Схема одновимірної двофазної фільтрації з урахуванням сили тяжіння
Рівняння (16.1), (16.2) та (16.3) з урахуванням (15.11) утворюють замкнуту систему для випадків лінійної течії, яка є основою для вирішення завдань витіснення однієї рідини іншої. Характерною особливістю даної системи і те, що її можна звести одного рівняння для насиченості. Знання розподілу насиченості в пласті дозволяє проаналізувати ефективність витіснення нафти або газу рідиною, що не змішується з нею.
Дане рівняння є складнимнелінійне рівняння параболічного типу другого порядку. Точне рішення цього рівняння отримано лише деяких порівняно простих окремих випадків. Отримано інваріантні рішення (типу хвилі, що рухається з постійною швидкістю, та автомодельні), а також деякі чисельні рішення на обчислювальних машинах.
При вирішенні конкретних завдань для рівняння зміни насиченості мають бути сформульовані відповідні граничні та початкові умови. Як початкова умова задаються значення невідомої функціїsзалежно від просторових координат приt =0. Можна вважати, що приt =0 насиченість всюди постійна (наприклад ,s = s *).
У разі витіснення нафти водою природно задати на вході в пласт (нагнітальна свердловина або галерея) витрата води, що закачується, і рівність нулю швидкості фільтрації нафти. З останньої умови відповідно до формули (6.3) випливає, щоk2=0, отже, на цій поверхніs = s*.
На виході із пласта можливо два варіанти граничних умов.
1. Можна знехтувати градієнтом капілярного тиску в порівнянні з градієнтом тиску у фазах, тобто вважати, що приx = L, звідки слідує, що:
приx = L. (16.4)
2. Експериментально встановлено, що вода не витікає з гідрофільного пласта, а накопичується у вихідному перерізі, доки її насиченість не досягне значенняs*. У момент досягнення значенняs*вода проривається із пласта із збереженням на виході цього значення насиченості. Це явище отримало назву кінцевого ефекту. Математично воно наводиться до складної нелінійної граничної умови на виході.
Зупинимося на двох найбільш вивчених моделях двофазної фільтрації.
Модель Баклея- Леверетта. Без урахування капілярних сил двофазна фільтрація для випадку прямолінійно-паралельного витіснення розглядалася С. Баклеєм і М. Левереттом в 1942 р., а пізніше незалежно від них А. М. Пірвердяном, який досліджував також випадок більш загального закону фільтрації при двофазному перебігу.
Рівняння насиченості завдань даного типу належить до класу квазілінійних гіперболічних рівнянь першого порядку, які зазвичай вирішуються методом характеристик та мають свої суттєві особливості при вирішенні порівняно з параболічними рівняннями.
У разі одновимірної (прямолінійно-паралельної та плоскорадіальної) течії нестисканих рідин, що не змішуються, в умовах, коли можна знехтувати капілярним тиском, а також впливом сили тяжкості, процес витіснення вивчений досить повно.
У цьому випадку важливе значення має так звана функція Баклея - Леверетта (рисунок 16.2) або функція розподілу потоків фазf(s),яка має простий фізичний зміст. Вона є відношенням швидкості фільтрації витісняючої фази до сумарної швидкості і дорівнює об'ємній частці потоку витісняючої рідини (води) в сумарному потоці двох фаз. Таким чином, функція Баклея – Лаверетта визначає повноту витіснення та характер розподілу нафтогазононасиченості за пластом.
Завдання підвищення нафто- і газоконденсатовіддачі значною мірою зводяться до застосування таких впливів на пласт, які, зрештою змінюють вигляд функції (f) (s) у напрямі збільшення повноти витіснення.
Вигляд кривих функціїf(s)та її похідної показаний малюнку 16.2. Зі зростанням насиченостіf(s) монотонно зростає від 0 до 1. Характерною особливістю графікаf(s) є наявність точки перегинунасиченостіsп,а також ділянок увігнутості та опуклості, де друга похідна від//(s) відповідно більше і менше нуля. Ця особливість значною мірою визначає специфіку фільтраційних завдань витіснення в рамках моделі Баклея - Леверетта.
Залежність функційf(s) та її похідної від відношення в'язкостей фаз (води та нафти)m0=m1/ m2 показано малюнку 16.3. З цього малюнка випливає, що зі зростанням відношення в'язкостей криваf(s) зсувається вправо і ефективність витіснення зростає. Наприклад, застосування пін і загусників, що підвищують в'язкість води, що нагнітається, може значно збільшити нафтовіддачу.
Фізичною особливістю моделі двофазного витіснення Баклея – Леверетта є залежність швидкості поширення тієї чи іншої значення насиченості від цього насиченості (дисперсія хвиль). При 0£s £sпвеликі насиченості поширюються з великими швидкостями, а приsп